Einfaches kompliziert gemacht


Ein Beispiel: Das Ziegenproblem

Viele Menschen werden davon schon irgendwo einmal gehört haben. Es wird auch unter anderen Bezeichnungen genannt, wie z.B. das „Dreitürenproblem“. In dem Film „21“ von Robert Luketic wird es zu Beginn genannt. Im Internet wird es in vielen Beiträgen behandelt, so gibt es einen umfassenden Wikipedia-Eintrag zum Ziegenproblem. Für alle, die vom Ziegenproblem zum ersten Mal hören, hier eine kurze Darstellung:

Ein Gewirr aus grünen, braunen und blauen Linien und Flächen, ähnlich wie ein Schrebergarten-Gebiet auf großer Höhe betrachtet.

In der Fernseh-Quizshow „Geh aufs Ganze“ (gibt es heute nicht mehr, soweit ich weiß) wird der Kandidat aufgefordert, eine von insgesamt 3 Türen zu wählen. Hinter einer dieser Türen befindet sich der Hauptgewinn, hinter den anderen beiden eine Niete oder ein Trostpreis. Nachdem der Kandidat eine Tür ausgewählt hat, öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen Türen, hinter der sich kein Gewinn befindet, und fragt den Kandidaten nun, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder ob er nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Die Frage ist nun:

Ist es für den Kandidaten besser bei seiner Wahl zu bleiben, ist es besser zu wechseln oder ist es egal? Für welche der beiden Türen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass sich hinter ihr der Gewinn befindet?

Es gibt viele Lösungswege, textliche, tabellarische oder mathematische. Alle sind mehr oder weniger ziemlich komplex, die komplexeste Lösung ist – wie man sich vielleicht denken kann – die mathematische. Sie ist nur für Mathematiker verständlich und obendrein für dieses simple „Problem“ unnötig. Eine gute Zusammenfassung findet man in dem oben zitierten Wikipedia-Eintrag. Viele Menschen haben sich schon über dieses doch eigentlich triviale Problem den Kopf zerbrochen und es gibt unterschiedliche Meinungen. Doch all das ist unnötig!

Man hat sogar Marilyn vos Savant, (die als Menschen mit dem höchsten IQ der Welt gilt oder galt!) befragt. Ihre Antwort ist in der Tat die Einfachste. Allerdings wandelt sie die Darstellung des Ziegenproblems etwas ab: Aus den 3 Toren macht sie 1 Million, um es anschaulicher zu machen! Meine Lösung ist noch etwas einfacher:

Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, teilt man die drei Tore in zwei Gruppen auf: Die erste Gruppe ist das Tor, welches der Kandidat gewählt hat. Die zweite Gruppe besteht aus den beiden anderen Toren.

ziegenproblemgrafik

Wenn der Quizmaster nun ein Tor aus Gruppe 2 öffnet und damit eliminiert, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für Gruppe 2 nicht, denn dafür gibt es keinen Grund! Das ist die entscheidende Erkenntnis: Sie bleibt bei 66%.

Beide Gruppen bestehen jetzt aber aus nur je einem Tor!

Also sollte der Kandidat zur Gruppe 2 wechseln, denn dort ist die Gewinnwahrscheinlichkeit doppelt so hoch. Es ist also ganz einfach!

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