Einfaches kompliziert gemacht


Ein Beispiel: Das Ziegenproblem

Viele Menschen werden davon irgendwo schon einmal gehört haben. Es wird auch unter anderen Bezeichnungen genannt, beispielsweise das „Dreitürenproblem“. In dem Film „21“ von Robert Luketic wird es zu Beginn genannt. Im Internet wird es in vielen Beiträgen behandelt, so gibt es einen umfassenden Wikipedia-Eintrag zum Ziegenproblem. Für alle, die vom Ziegenproblem zum ersten Mal hören, hier eine kurze Darstellung:

In der Fernseh-Quizshow „Geh aufs Ganze“ (gibt es heute nicht mehr, soweit ich weiß) wird der Kandidat aufgefordert, eine von insgesamt 3 Türen zu wählen. Hinter einer davon befindet sich der Hauptgewinn, hinter den anderen eine Niete oder ein Trostpreis. Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen, hinter der sich kein Gewinn befindet, und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Die Frage ist nun:

Sollte der Kandidaten bei seiner Wahl bleiben, ist es besser zu wechseln oder ist es egal? Für welche der beiden Türen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass sich hinter ihr der Gewinn befindet?

Es gibt viele Lösungswege, textliche, tabellarische oder mathematische. Alle sind mehr oder weniger ziemlich komplex, die komplexeste Lösung ist – wie man sich denken kann – die mathematische. Sie ist nur für Mathematiker verständlich und obendrein für dieses simple „Problem“ unnötig. Eine gute Zusammenfassung findet man in dem oben genannten Wikipedia-Eintrag. Viele Menschen haben sich schon über dieses doch eigentlich triviale Problem den Kopf zerbrochen und es gibt unterschiedliche Meinungen. Doch all das ist unnötig!

Man hat sogar Marilyn vos Savant, (die als Menschen mit dem höchsten IQ der Welt gilt oder galt!) befragt. Ihre Antwort ist in der Tat die einfachste. Allerdings wandelt sie die Darstellung des Ziegenproblems etwas ab: Aus den 3 Toren macht sie 1 Million, damit es anschaulicher wird! Doch das ist nicht wirklich nötig. Meine Lösung ist noch etwas einfacher:

Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, teilt man die drei Tore in zwei Gruppen auf: Die erste Gruppe ist das Tor, welches der Kandidat gewählt hat. Die zweite Gruppe besteht aus den beiden anderen Toren.

ziegenproblemgrafik

Die entscheidende Beobachtung ist: Wenn der Quizmaster ein Tor aus Gruppe Zwei öffnet und damit eliminiert, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für diese Gruppe nicht, sie ist immer noch bei 66%! Doch jetzt besteht Gruppe zwei nur noch aus einem Tor, genau wie Gruppe Eins!

Das Tor der ersten Gruppe hat eine Wahrscheinlichkeit von 33, das der zweiten eine Wahrscheinlichkeit von 66 Prozent. Also ist es logisch, das Tor der zweiten Gruppe zu wählen, denn dort ist die Wahrscheinlichkeit doppelt so hoch. Es ist also ganz einfach!

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