Das Zie­gen­pro­blem

Das Zie­gen­pro­blem


Ein eigent­lich ein­fa­ches Pro­blem

Vie­le Men­schen wer­den davon irgend­wo schon ein­mal gehört oder gele­sen haben. In der ame­ri­ka­ni­schen Spiel­show “Let´s make a deal” (in Deutsch­land: Geh aufs Gan­ze) wird ein Kan­di­dat auf­ge­for­dert, eine von 3 Türen zu wäh­len. Hin­ter einer befin­det sich ein Gewinn, hin­ter den ande­ren eine Nie­te. Nach­dem der Kan­di­dat eine Tür gewählt hat, öff­net der Quiz­mas­ter eine der bei­den ande­ren, hin­ter der sich kein Gewinn befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder statt­des­sen nicht die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der Kan­di­dat kann sich nun fol­gen­de Fra­gen stel­len:

Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
Ist es bes­ser zu wech­seln?
Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 ste­hen?

Es gibt schrift­li­che, tabel­la­ri­sche, mathe­ma­ti­sche und auch gra­fi­sche Aus­füh­run­gen. Mathe­ma­ti­ker, Wis­sen­schaft­ler und Spe­zia­lis­ten der gan­zen Welt haben sich bereits mit die­ser doch eigent­lich tri­via­len Auf­ga­ben­stel­lung befasst. Das Inter­net ist voll davon. Es wur­de sogar Mari­lyn vos Savant befragt (gilt oder galt als Men­schen mit dem höchs­ten IQ der Welt). Sie sagt:

Ja, Sie soll­ten wech­seln. Das zuerst gewähl­te Tor hat die Gewinn­chan­ce von 1/3, aber das zwei­te Tor hat eine Gewinn­chan­ce von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Gesche­hen vor­zu­stel­len. Neh­men Sie an, es gäbe 1 Mil­li­on Tore und Sie wäh­len Tor Num­mer 1. Dann öff­net der Mode­ra­tor, der weiß, was hin­ter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer ver­mei­det, alle Tore bis auf Tor Num­mer 777777. Sie wür­den doch sofort zu die­sem Tor wech­seln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)

Die­se Erklä­rung ist in der Tat die bes­te und ein­fachs­ter von allen. Doch obwohl sie so ein­leuch­tend ist, wird sie von Skep­ti­kern ange­zwei­felt oder sogar abge­lehnt. Sie sagen, die Eine-Mil­li­on-Türen-Metho­de könn­te nicht auf die Drei-Türen-Kon­stel­la­ti­on über­tra­gen wer­den. Außer­dem hät­te der Mode­ra­tor die Mög­lich­keit den Kan­di­da­ten zu beein­flus­sen.

Fol­gen­des Ver­fah­ren soll­te jedoch auch die letz­ten Skep­ti­ker davon über­zeu­gen, dass es klug ist, zu wech­seln.

Das Grup­pen­mo­del

Wie jeder weiß, ist die Gewinn­wahr­schein­lich­keit für jedes ein­zel­ne Tor 1/3. Kom­bi­niert man die Wahr­schein­lich­keits­wer­te von jeweils 1/3 der ein­zel­nen Tore mit­ein­an­der und bil­det Grup­pen, ent­steht die­ses Bild:
 

Wür­de der Kan­di­dat jetzt Grup­pe B wäh­len, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und Tor 3 zu wäh­len, was die Tref­fer­wahr­schein­lich­keit von 66,6% wie­der auf 33,3% hal­biert. Öff­net der Quiz­mas­ter jedoch zuvor ein Tor in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, sodass die Gewinn­wahr­schein­lich­keit bei 66,66% bleibt.

Öff­net der Quiz­mas­ter eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer ver­schlos­se­nen Tür, obwohl sie zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Quiz­mas­ter bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von der eine bereits geöff­net ist. Das wäre übri­gens das­sel­be, als wären bei­de Türen geschlos­sen und man darf bei­de öff­nen. Die­ses Ange­bot wür­de doch bestimmt nie­mand ableh­nen, oder?

Kein mathe­ma­ti­sches Rät­sel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art gedank­li­che Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung.

Wenn der Quiz­mas­ter eine Tür öff­net und somit die Anzahl der Türen auf zwei redu­ziert, den­ken wir viel­leicht, die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung für die ver­blei­ben­den zwei Türen ver­än­dert sich. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3 Wahr­schein­lich­keit, jetzt haben wir zwei zu je 1/2. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kan­di­dat nicht zuvor bereits eine Tür gewählt hät­te.

Wür­de der Quiz­mas­ter die Tür öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten eine wählt, wäre die Wahr­schein­lich­keit tat­säch­lich für die bei­de ver­blie­be­nen Türen jeweils 1/2, da bei­de gleich­wer­tig wären. Sie hät­ten den glei­chen Ursprung, sodass es kei­nen Grund gäbe, sie unter­schied­lich zu bewer­ten.

Doch wenn der Kan­di­dat Tür 1 wählt, bevor der Quiz­mas­ter Tür 2 öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re. Zur Erin­ne­rung: Die Wahr­schein­lich­keit, dass das Sie­ger­tor in Grup­pe B ist, ist 66,6%. Wird eine Tür in die­ser Grup­pe geöff­net, ändert sich dar­an nichts, sie bleibt für die­se Grup­pe bei 66,6%. Die noch ver­schlos­se­ne Tür 3 in Grup­pe B erbt jetzt die 33,3% von der ver­stor­be­nen Tür 2, sodass sich ihr Wahr­schein­lich­keits­wert auf 66,6% ver­dop­pelt. Tür 1 behält hin­ge­gen ihre 33,3%. Wenn wir wech­seln, bekom­men wir also 2/3 Wahr­schein­lich­keit im Tausch gegen 1/3.

Rät­sel­haft ist das Gan­ze nicht und mit Mathe­ma­tik hat es auch nichts zu tun.

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