Ein eigentlich einfaches Problem
Viele kennen es bereits, das sogenannte Ziegenproblem. In der Show Let´s make a deal/Geh aufs Ganze wird ein Kandidat aufgefordert, eine von 3 Türen zu wählen, hinter der er sich ein Gewinn erhofft. Danach öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen und fragt, ob der Kandidat bei seiner Wahl bleibt oder stattdessen nicht die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Dieser kann sich nun folgende Fragen stellen:
Soll ich bei meiner Wahl bleiben?
Ist es besser zu wechseln?
Oder ist es egal, weil die Chancen 50:50 stehen?
Viele verschiedene Lösungswege
Es gibt schriftliche, tabellarische, mathematische und auch grafische Lösungswege. Mathematiker, Wissenschaftler und Spezialisten der ganzen Welt haben sich bereits dazu geäußert. Es wurde sogar Marilyn vos Savant befragt (gilt oder galt als Menschen mit dem höchsten IQ der Welt). Sie sagt:
Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)
Diese Erklärung ist in der Tat die beste und einfachster von allen. Doch obwohl sie so einleuchtend ist, wird sie von Skeptikern angezweifelt oder sogar abgelehnt. Sie sagen, die Eine-Million-Türen-Methode könnte nicht auf die Drei-Türen-Konstellation übertragen werden. Außerdem hätte der Moderator die Möglichkeit die Entscheidung des Kandidaten suggestiv zu beeinflussen. Doch folgende Methode sollte endgültig klarstellen, dass es besser ist, zu wechseln.
Die Gruppenmethode
Nachdem der Kandidat Tor 1 gewählt hat, teilen wir die Tore in 2 Gruppen auf. Gruppe A besteht aus dem gewählte Tor, Gruppe B wird aus aus den beiden anderen gebildet.
Für jedes einzelne Tor ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Kombiniert man die Werte miteinander und bildet Gruppen, entsteht eine ungleichmäßige Verteilung:
Würde der Kandidat jetzt zu Gruppe B wechseln, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und Tor 3 zu wählen. Öffnet der Quizmaster jedoch zuvor ein Tor in Gruppe B, fällt dieser zweite Schritt weg, doch die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt gleich. Denn warum sollte die Wahrscheinlichkeit für Gruppe B sich ändern, wemm eins seiner Tore geöffnet wird?
Öffnet der Quizmaster eine Tür, besteht Gruppe B nur noch aus einer verschlossenen Tür, obwohl sie zwei repräsentiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Quizmaster bietet dem Kandidaten zwei Türen an, von der eine bereits geöffnet ist. Das wäre übrigens dasselbe, als wären beide Türen geschlossen und man darf beide öffnen.
Kein mathematisches Rätsel
Ich betrachte das Ziegenproblem deshalb nicht als mathematisches Rätsel, sondern eher als eine Art assoziative Täuschung, im Sinn einer optischen Täuschung.
Wenn der Quizmaster eine Tür öffnet und somit die Anzahl der Türen auf zwei reduziert, denken wir vielleicht, die Wahrscheinlichkeiten für die verbleibenden zwei Türen würde sich neu verteilen. Vorher hatten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2, denken wir. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kandidat nicht zuvor eine Tür gewählt hätte.
Würde der Quizmaster Tür 2 öffnen, bevor der Kandidaten Tür 1 wählt, wären die Wahrscheinlichkeiten für Tür 1 und 3 tatsächlich gleich hoch. Der Grund: Von ursprünglich drei gleichwertigen Türen, von denen jeder 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit besitzt, wird eine eliminiert. Die verbleibenden 2 Türen sind dann ebenfalls gleichwertig. Die Wahrscheinlichkeiten verteilen sich neu und jede Tür bekommt 50 Prozent.
Doch wenn der Quizmaster Tür 2 öffnet, nachdem der Kandidat Tür 1 wählt und somit separiert, ist die Situation eine andere. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner sich hinter Tür 2 oder 3 versteckt, ist doppelt so hoch wie für Tür 1 allein. Tür 1 und 3 sind deswegen nicht gleichwertig. Sie sind auf verschiedene Wege in die Endwahl gekommen und bringen auch unterschiedliche Wahrscheinlichkeitswerte mit in die Endwahl.
Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Siegertor in Gruppe B ist, ist 66,6%. Wird eine Tür in dieser Gruppe geöffnet, ändert sich daran nichts, sie bleibt für diese Gruppe bei 66,6%, egal wie viele Türen in ihr geschlossen oder geöffnet sind. Denn die Wahrscheinlichkeitsverteilung stand bereits zu Beginn des Spiels fest. Sie kann sich durch das Öffnen einer Tür nachträglich nicht ändern.
Tür 3 in Gruppe B erbt sozusagen 1/3 Wahrscheinlichkeit von der verstorbenen Tür 2. Wenn wir wechseln, bekommen wir 2/3 Wahrscheinlichkeit im Tausch gegen 1/3.