Das Zie­gen­pro­blem

Das Zie­gen­pro­blem


Ein eigent­lich ein­fa­ches Pro­blem

Vie­le ken­nen es bereits, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem. In der Show Let´s make a deal/Geh aufs Gan­ze wird ein Kan­di­dat auf­ge­for­dert, eine von 3 Türen zu wäh­len, hin­ter der er sich ein Gewinn erhofft. Danach öff­net der Quiz­mas­ter eine der bei­den ande­ren und fragt, ob der Kan­di­dat bei sei­ner Wahl bleibt oder statt­des­sen nicht die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Die­ser kann sich nun fol­gen­de Fra­gen stel­len:

Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
Ist es bes­ser zu wech­seln?
Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 ste­hen?

Vie­le ver­schie­de­ne Lösungs­we­ge

Es gibt schrift­li­che, tabel­la­ri­sche, mathe­ma­ti­sche und auch gra­fi­sche Lösungs­we­ge. Mathe­ma­ti­ker, Wis­sen­schaft­ler und Spe­zia­lis­ten der gan­zen Welt haben sich bereits dazu geäu­ßert. Es wur­de sogar Mari­lyn vos Savant befragt (gilt oder galt als Men­schen mit dem höchs­ten IQ der Welt). Sie sagt:

Ja, Sie soll­ten wech­seln. Das zuerst gewähl­te Tor hat die Gewinn­chan­ce von 1/3, aber das zwei­te Tor hat eine Gewinn­chan­ce von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Gesche­hen vor­zu­stel­len. Neh­men Sie an, es gäbe 1 Mil­li­on Tore und Sie wäh­len Tor Num­mer 1. Dann öff­net der Mode­ra­tor, der weiß, was hin­ter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer ver­mei­det, alle Tore bis auf Tor Num­mer 777777. Sie wür­den doch sofort zu die­sem Tor wech­seln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)

Die­se Erklä­rung ist in der Tat die bes­te und ein­fachs­ter von allen. Doch obwohl sie so ein­leuch­tend ist, wird sie von Skep­ti­kern ange­zwei­felt oder sogar abge­lehnt. Sie sagen, die Eine-Mil­li­on-Türen-Metho­de könn­te nicht auf die Drei-Türen-Kon­stel­la­ti­on über­tra­gen wer­den. Außer­dem hät­te der Mode­ra­tor die Mög­lich­keit die Ent­schei­dung des Kan­di­da­ten sug­ges­tiv zu beein­flus­sen. Doch fol­gen­de Metho­de soll­te end­gül­tig klar­stel­len, dass es bes­ser ist, zu wech­seln.

Die Grup­pen­me­tho­de

Nach­dem der Kan­di­dat Tor 1 gewählt hat, tei­len wir die Tore in 2 Grup­pen auf. Grup­pe A besteht aus dem gewähl­te Tor, Grup­pe B wird aus aus den bei­den ande­ren gebil­det.

Für jedes ein­zel­ne Tor ist die Gewinn­wahr­schein­lich­keit 1/3. Kom­bi­niert man die Wer­te mit­ein­an­der und bil­det Grup­pen, ent­steht eine ungleich­mä­ßi­ge Ver­tei­lung:
 

Wür­de der Kan­di­dat jetzt zu Grup­pe B wech­seln, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und Tor 3 zu wäh­len. Öff­net der Quiz­mas­ter jedoch zuvor ein Tor in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, doch die Gewinn­wahr­schein­lich­keit bleibt gleich. Denn war­um soll­te die Wahr­schein­lich­keit für Grup­pe B sich ändern, wemm eins sei­ner Tore geöff­net wird?

Öff­net der Quiz­mas­ter eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer ver­schlos­se­nen Tür, obwohl sie zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Quiz­mas­ter bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von der eine bereits geöff­net ist. Das wäre übri­gens das­sel­be, als wären bei­de Türen geschlos­sen und man darf bei­de öff­nen.

Kein mathe­ma­ti­sches Rät­sel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art asso­zia­ti­ve Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung.

Wenn der Quiz­mas­ter eine Tür öff­net und somit die Anzahl der Türen auf zwei redu­ziert, den­ken wir viel­leicht, die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ver­blei­ben­den zwei Türen wür­de sich neu ver­tei­len. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2, den­ken wir. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kan­di­dat nicht zuvor eine Tür gewählt hät­te.

Wür­de der Quiz­mas­ter Tür 2 öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten Tür 1 wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tür 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch. Der Grund: Von ursprüng­lich drei gleich­wer­ti­gen Türen, von denen jeder 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt, wird eine eli­mi­niert. Die ver­blei­ben­den 2 Türen sind dann eben­falls gleich­wer­tig. Die Wahr­schein­lich­kei­ten ver­tei­len sich neu und jede Tür bekommt 50 Pro­zent.

Doch wenn der Quiz­mas­ter Tür 2 öff­net, nach­dem der Kan­di­dat Tür 1 wählt und somit sepa­riert, ist die Situa­ti­on eine ande­re. Die Wahr­schein­lich­keit, dass der Gewin­ner sich hin­ter Tür 2 oder 3 ver­steckt, ist dop­pelt so hoch wie für Tür 1 allein. Tür 1 und 3 sind des­we­gen nicht gleich­wer­tig. Sie sind auf ver­schie­de­ne Wege in die End­wahl gekom­men und brin­gen auch unter­schied­li­che Wahr­schein­lich­keits­wer­te mit in die End­wahl.

Zur Erin­ne­rung: Die Wahr­schein­lich­keit, dass das Sie­ger­tor in Grup­pe B ist, ist 66,6%. Wird eine Tür in die­ser Grup­pe geöff­net, ändert sich dar­an nichts, sie bleibt für die­se Grup­pe bei 66,6%, egal wie vie­le Türen in ihr geschlos­sen oder geöff­net sind. Denn die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung stand bereits zu Beginn des Spiels fest. Sie kann sich durch das Öff­nen einer Tür nach­träg­lich nicht ändern.

Tür 3 in Grup­pe B erbt sozu­sa­gen 1/3 Wahr­schein­lich­keit von der ver­stor­be­nen Tür 2. Wenn wir wech­seln, bekom­men wir 2/3 Wahr­schein­lich­keit im Tausch gegen 1/3.


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