Ein eigentlich einfaches Problem
Viele Menschen werden davon irgendwo schon einmal gehört oder gelesen haben. In der amerikanischen Spielshow “Let´s make a deal” (in Deutschland: Geh aufs Ganze) wird ein Kandidat aufgefordert, eine von 3 Türen zu wählen. Hinter einer befindet sich ein Gewinn, hinter den anderen eine Niete. Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen, hinter der sich kein Gewinn befindet, und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt oder stattdessen nicht die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Der Kandidat kann sich nun folgende Fragen stellen:
Soll ich bei meiner Wahl bleiben?
Ist es besser zu wechseln?
Oder ist es egal, weil die Chancen 50:50 stehen?
Es gibt schriftliche, tabellarische, mathematische und auch grafische Ausführungen. Mathematiker, Wissenschaftler und Spezialisten der ganzen Welt haben sich bereits mit dieser doch eigentlich trivialen Aufgabenstellung befasst. Das Internet ist voll davon. Es wurde sogar Marilyn vos Savant befragt (gilt oder galt als Menschen mit dem höchsten IQ der Welt). Sie sagt:
Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)
Diese Erklärung ist in der Tat die beste und einfachster von allen. Doch obwohl sie so einleuchtend ist, wird sie von Skeptikern angezweifelt oder sogar abgelehnt. Sie sagen, die Eine-Million-Türen-Methode könnte nicht auf die Drei-Türen-Konstellation übertragen werden. Außerdem hätte der Moderator die Möglichkeit den Kandidaten zu beeinflussen.
Folgendes Verfahren sollte jedoch auch die letzten Skeptiker davon überzeugen, dass es klug ist, zu wechseln.
Das Gruppenmodel
Wie jeder weiß, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für jedes einzelne Tor 1/3. Kombiniert man die Wahrscheinlichkeitswerte von jeweils 1/3 der einzelnen Tore miteinander und bildet Gruppen, entsteht dieses Bild:
Würde der Kandidat jetzt Gruppe B wählen, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und Tor 3 zu wählen, was die Trefferwahrscheinlichkeit von 66,6% wieder auf 33,3% halbiert. Öffnet der Quizmaster jedoch zuvor ein Tor in Gruppe B, fällt dieser zweite Schritt weg, sodass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei 66,66% bleibt.
Öffnet der Quizmaster eine Tür, besteht Gruppe B nur noch aus einer verschlossenen Tür, obwohl sie zwei repräsentiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Quizmaster bietet dem Kandidaten zwei Türen an, von der eine bereits geöffnet ist. Das wäre übrigens dasselbe, als wären beide Türen geschlossen und man darf beide öffnen. Dieses Angebot würde doch bestimmt niemand ablehnen, oder?
Kein mathematisches Rätsel
Ich betrachte das Ziegenproblem deshalb nicht als mathematisches Rätsel, sondern eher als eine Art gedankliche Täuschung, im Sinn einer optischen Täuschung.
Wenn der Quizmaster eine Tür öffnet und somit die Anzahl der Türen auf zwei reduziert, denken wir vielleicht, die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verbleibenden zwei Türen verändert sich. Vorher hatten wir drei Türen zu je 1/3 Wahrscheinlichkeit, jetzt haben wir zwei zu je 1/2. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kandidat nicht zuvor bereits eine Tür gewählt hätte.
Würde der Quizmaster die Tür öffnen, bevor der Kandidaten eine wählt, wäre die Wahrscheinlichkeit tatsächlich für die beide verbliebenen Türen jeweils 1/2, da beide gleichwertig wären. Sie hätten den gleichen Ursprung, sodass es keinen Grund gäbe, sie unterschiedlich zu bewerten.
Doch wenn der Kandidat Tür 1 wählt, bevor der Quizmaster Tür 2 öffnet, ist die Situation eine andere. Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Siegertor in Gruppe B ist, ist 66,6%. Wird eine Tür in dieser Gruppe geöffnet, ändert sich daran nichts, sie bleibt für diese Gruppe bei 66,6%. Die noch verschlossene Tür 3 in Gruppe B erbt jetzt die 33,3% von der verstorbenen Tür 2, sodass sich ihr Wahrscheinlichkeitswert auf 66,6% verdoppelt. Tür 1 behält hingegen ihre 33,3%. Wenn wir wechseln, bekommen wir also 2/3 Wahrscheinlichkeit im Tausch gegen 1/3.
Rätselhaft ist das Ganze nicht und mit Mathematik hat es auch nichts zu tun.