Das Zie­gen­pro­blem


Kein Pro­blem und kei­ne Mathe­ma­tik

Eine Zeichnung. Zwei Ziegen und ein Auto stehen vor 3 Türen.

Der Show­mas­ter sagt zur Kan­di­da­tin: Wenn Sie nicht Tür 1 neh­men, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öff­nen.

Um es gleich zu sagen: Oben ste­hen­der abge­wan­del­ter Spiel­ab­lauf ist gleich­be­deu­tend mit dem übli­chen.

Vie­le ken­nen es schon, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem: In der Fern­seh­show Let‘s make a deal (Geh‘ aufs Gan­ze) muss ein Kan­di­dat eine von 3 Türen wäh­len, hin­ter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öff­net der Show­mas­ter eine der bei­den ande­ren Türen, hin­ter der sich eine Nie­te (Zie­ge) befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder nicht lie­ber zur drit­ten, noch ver­schlos­se­ne Tür wech­selt. Der kann sich jetzt fra­gen:

  • Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
  • Ist es bes­ser, zu wech­seln?
  • Oder ist es egal, weil die Chan­cen so oder so 50:50 ste­hen?

Die meis­ten Men­schen sind der Mei­nung, es ist bes­ser, zu wech­seln.

Der Ein­spruch der Skep­ti­ker

Doch Skep­ti­ker sagen: Es ist egal, also fif­ty-fif­ty oder sogar von Nach­teil, denn man kön­ne nie wis­sen, wel­che Stra­te­gie der Spiel­lei­ter hat, ob er par­tei­isch oder unpar­tei­isch ist. Theo­re­tisch könn­te er mani­pu­la­tiv sein, und die­sen Fak­tor dür­fe man nicht igno­rie­ren.

Doch wel­chen Spiel­raum könn­te der Show­mas­ter haben, der es ihm erlaubt, eine „Stra­te­gie“ anzu­wen­den? Schließ­lich öff­net er bekannt­lich immer eine Tür mit einer Zie­ge. Es ist also nicht so, dass er dem einen Kan­di­da­ten den Tausch anbie­tet und einem ande­ren nicht. In die­sem Fall wäre die durch­schnitt­li­che Gewinn­wahr­schein­lich­keit viel­leicht tat­säch­lich 50:50.

Alles, was er tun könn­te, wäre, die Kan­di­da­ten unter­schied­lich stark zum Wech­sel zu drän­gen. Eine Kan­di­da­tin, die das rich­ti­ge Tor bereits gewählt hat und ihm sehr sym­pa­thisch ist, wird er wahr­schein­lich nicht wie­der­holt fra­gen: „Wol­len sie nicht doch lie­ber zum ande­ren Tor wech­seln?“ Bei einem ihm unsym­pa­thi­schen Kan­di­da­ten macht er das viel­leicht doch schon mal.

Und selbst wenn er unpar­tei­isch ist (oder zumin­dest glaubt, es zu sein), könn­te er unbe­wusst Signa­le aus­sen­den, die den Kandidaten/die Kan­di­da­tin beein­flus­sen.

Doch wür­de der Spiel­lei­ter das tat­säch­lich tun, hät­te das schon längst jemand bemerkt. War­um, erklä­re ich am Ende die­ser Sei­te.


Grup­pen­auf­tei­lung, Scha­len-Vari­an­te und tabel­la­ri­sche Betrach­tung

Die­se drei Dar­stel­lungs­for­men zei­gen auf unter­schied­li­chen Wegen, was pas­siert, wenn der Show­mas­ter eine Tür öff­net oder die Kan­di­da­tin wech­selt oder bei ihrer Wahl bleibt.

Die Grup­pen­auf­tei­lung

Die Kan­di­da­tin wählt Tor 1. Anschlie­ßend tei­len wir die Tore in Grup­pen ein. Aus dem gewähl­ten bil­den wir Grup­pe A, aus den nicht gewähl­ten Grup­pe B.

Man sieht sofort: Die Wahr­schein­lich­keit, dass der Gewinn in Grup­pe B ist, ist dop­pelt so hoch wie für Grup­pe A. Doch wür­de die Kan­di­da­tin in die­ser Situa­ti­on zur Grup­pe B wech­seln, hät­te sie noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len, was die Gewinn­wahr­schein­lich­keit wie­der auf 1/3 redu­ziert.

Der Kan­di­dat wech­selt nicht die Tür, son­dern die Grup­pe

Öff­net der Show­mas­ter jedoch zuvor ein Tor mit einer Nie­te in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Wahl­vor­gang weg, die Gewinn­wahr­schein­lich­keit für Grup­pe B bleibt jedoch gleich. Denn war­um soll­te sie sich ändern? Sie wur­de zu Beginn des Spiels fest­ge­legt und kann sich des­halb (durch das Öff­nen eines oder auch aller Tore) unmög­lich ändern.

Vor dem Öff­nen hat­ten Tor 2 und 3 ein­zeln je eine Wahr­schein­lich­keit von 1/3 und gemein­sam 2/3. Nach dem Öff­nen besit­zen sie gemein­sam immer noch 2/3, aller­dings hat das geöff­ne­te jetzt den Wert Null (sozu­sa­gen 0/3) und das geschlos­se­ne den Wert 2/3.

Wenn Tor 2 eine Nie­te ist, gibt es immer noch eine 2. Chan­ce, dass Tor 3 das nicht ist. Der Tod des 2. Tores hat die Wahr­schein­lich­keit, dass Tor 3 kei­ne Nie­te ist, ver­dop­pelt. Tor 3 hat den Wahr­schein­lich­keits­wert des 2. Tores „geerbt“ und ist ab jetzt der allei­ni­ge Wahr­schein­lich­keits­trä­ger in Grup­pe B.

Zwei Türen im Tausch gegen eine

Öff­net der Mode­ra­tor Tür 2, besteht Grup­pe B nur noch aus einer wähl­ba­ren Tür, obwohl ihr Wahr­schein­lich­keits­wert zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man den Vor­gang auch so beschrei­ben:

Der Mode­ra­tor bie­tet der Kan­di­da­tin zwei Türen zum Tausch an, von denen er eine bereits aus der Kon­kur­renz genom­men hat. (Die geöff­ne­te gibt’s sozu­sa­gen als Anschau­ungs­ob­jekt gra­tis dazu. Sie ist zwar für nichts gut, scha­den tut sie aber auch nicht.)

Noch deut­li­cher zeigt es die­ser Spiel­ab­lauf: Anstatt dass der Spiel­lei­ter Tür 2 öff­net und die Kan­di­da­tin die Mög­lich­keit bekommt, zu Tür 3 zu wech­seln, bie­tet er ihr an, Tür 1 direkt gegen die bei­den ande­ren ein­zu­tau­schen, die sie dann auch bei­de öff­nen darf. Denn:

Ob die Kan­di­da­tin zwei­mal eine Tür öff­net und es ihr dabei erlaubt ist, ein­mal eine Nie­te zu erwi­schen, oder ob der Spiel­lei­ter die­se Nie­te für sie zuvor aus­sor­tiert, ist völ­lig egal.


Die Scha­len-Vari­an­te

Stell dir fol­gen­des Spiel vor:

Auf einem Tisch ste­hen 2 Scha­len. In der lin­ken liegt 1 Los und in der rech­ten lie­gen 2. Eins der drei Lose ist der Gewinn eines Autos, die bei­den ande­ren sind Nie­ten. Das Los in der lin­ken Scha­le reprä­sen­tiert die Tür, die die Kan­di­da­tin gewählt hat, die bei­den Lose in der rech­ten Scha­le reprä­sen­tie­ren die ande­ren bei­den Türen.
Nur der Spiel­lei­ter weiß, wel­ches Los gewinnt. Dann ent­fernt er eine Nie­te aus der rech­ten Scha­le und for­dert die Kan­di­da­tin auf, ein Los/eine Scha­le zu wäh­len.

Soll­te sich der Gewinn tat­säch­lich in der rech­ten Scha­le befin­den (was in 2 von 3 Fäl­len der Fall ist), besteht immer noch die fünf­zig­pro­zen­ti­ge Gefahr, die Nie­te zu erwi­schen. Ent­fernt der Show­mas­ter die­se Nie­te, besteht die­se Gefahr jedoch nicht mehr. Das Ent­fer­nen einer Nie­te aus der rech­ten Scha­le ent­spricht dem Öff­nen einer Tür.

Bei die­sem Spiel­ab­lauf geschieht das glei­che wie bei dem mit den Türen und den Zie­gen. Es soll­te leicht zu erken­nen sein. Im Prin­zip ist es das­sel­be Spiel, nur auf eine ande­re Art gespielt.

Die Scha­len-Vari­an­te ver­an­schau­licht jedoch gut, war­um sich durch das Öff­nen einer Tür die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ande­ren nicht ändern kön­nen: Ent­fernt der Spiel­lei­ter eine Nie­te aus der rech­ten Scha­le, ver­än­dert das nicht die Ver­tei­lung der Lose in den Scha­len (denn nur dann wäre eine Ver­än­de­rung der Wahr­schein­lich­kei­ten mög­lich). Es bleibt bei der Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung von 1/3 für die lin­ke und 2/3 für die rech­te Scha­le, auch wenn die inzwi­schen nur noch 1 Los ent­hält.

Die unsicht­ba­ren Scha­len

Ändert man die Scha­len-Vari­an­te etwas ab, sieht man, dass es sogar egal ist, ob die­ses Spiel mit oder ohne Scha­len gespielt wird (wie es bei der Tür-Vari­an­te der Fall ist). Allein das Wis­sen dar­über, dass ein Los ent­fernt wur­de, hilft uns wei­ter:

Auf einem Tisch ste­hen 2 Scha­len. In der lin­ken liegt 1 Los und in der rech­ten lie­gen 2. Eins der drei Lose ist der Gewinn eines Autos, die bei­den ande­ren sind Nie­ten. Nur der Spiel­lei­ter weiß, wel­ches Los gewinnt.

Nun die Abwand­lung:
Der Spiel­lei­ter nimmt die Lose aus den Scha­len her­aus und legt sie vor die Scha­len auf den Tisch. Vor der lin­ken Scha­le liegt jetzt 1 Los und vor der rech­ten lie­gen 2.

Dann ent­fernt er ein Los (eine Nie­te), das vor der rech­ten Scha­le liegt und nimmt auch die Scha­len vom Tisch.

Jetzt lie­gen also nur noch zwei Lose – schein­bar gleich­be­rech­tigt – auf dem Tisch. Jemand, der jetzt hin­zu­kommt und nicht weiß, was zuvor gesche­hen ist, wird den­ken müs­sen, die Wahr­schein­lich­kei­ten für bei­de Lose sind gleich hoch. Nor­ma­ler­wei­se wäre das auch so.

Wer also glaubt oder der Mei­nung ist, nach dem Öff­nen der 2. Tür wären die Wahr­schein­lich­kei­ten 50:50, ver­hält sich wie jemand, der nicht weiß, wie es dazu kam, dass vor ihm zwei schein­bar gleich­be­rech­tig­te Lose auf dem Tisch lie­gen.

Als Ange­hö­ri­ger der Fif­ty-fif­ty-Frak­ti­on müs­sen wir also ler­nen zu erken­nen, dass Tür 2 + 3 (bzw. die Türen, die nicht gewählt wur­den) in einer Art „Ver­schrän­kungs­be­zie­hung“ zuein­an­der ste­hen. Stirbt die eine, lebt in 2/3 aller Fäl­le die ande­re.


Die tabel­la­ri­sche Betrach­tung

Die tabel­la­ri­sche Auf­stel­lung macht es eben­falls deut­lich. Wir wis­sen, im Durch­schnitt wird jede Kandidatin/jeder Kan­di­dat bei jedem 3. Spiel sofort das rich­ti­ge Tor wäh­len. Davon lässt sein ablei­ten:

Aus sta­tis­ti­scher Sicht ist es also immer vor­teil­haft, zu wech­seln: Zwei­mal pro drei Spie­le wählt der Kan­di­dat eine Zie­ge, doch er wech­selt und bekommt das Auto. Doch nur ein­mal pro drei Spie­le bekommt er das Auto, wenn er nicht wech­selt.


Kein mathe­ma­ti­sches Rät­sel – nur eine asso­zia­ti­ve Täu­schung

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel (als das es manch­mal bezeich­net wird), son­dern eher als eine Art der asso­zia­ti­ven Täu­schung – im Sinn einer opti­schen Täu­schung. Im Grun­de genom­men ist es ein­fach, doch das Öff­nen der Tür ver­wirrt uns – ohne dass wir es mer­ken. Es ist wie bei einem Illu­sio­nis­ten, der mit über­flüs­si­gen Bewe­gun­gen und aller­lei Schnick­schnack unse­re Auf­merk­sam­keit vom wirk­li­chen Gesche­hen ablenkt.

Unser Feh­ler ist, zu glau­ben, wir hät­ten durch das Öff­nen einer Tür zusätz­li­che Infor­ma­tio­nen erhal­ten: Wir den­ken, jetzt etwas zu wis­sen, das wir zuvor nicht wuss­ten. Doch das stimmt nicht!

Wir wis­sen jetzt zwar, hin­ter Tür 2 ver­birgt sich eine Zie­ge, doch indi­rekt wuss­ten wir das vor­her auch schon: Wir wuss­ten, ent­we­der Tür 2 oder 3 muss eine Zie­gen­tür sein. Wir wuss­ten nur nicht, wel­che. Öff­net der Spiel­lei­ter Tür 3, wech­seln wir zu Tür 2, öff­net er Tür 2, wech­seln wir zu Tür 3. Es ist gleich­be­deu­tend und aus­tausch­bar. Eine von bei­den Türen muss­te es sein und aus die­sem Grund ist es völ­lig unwich­tig, wel­che es ist. Ver­stan­den?

Die sia­me­si­schen Türen

Wenn wir also wis­sen, Tür 2 ist eine Zie­ge, ist es das­sel­be, als wüss­ten wir, dass Tür 3 eine Zie­ge ist. Des­we­gen hilft uns das Wis­sen, hin­ter wel­cher Tür sich eine Zie­ge ver­birgt, nicht wei­ter, denn in die­ser Pha­se des Spiels sind Tür 2 und 3 im Prin­zip mit­ein­an­der iden­tisch: Sie fun­gie­ren zunächst nur als Platz­hal­ter für die auf­zu­de­cken­de Zie­ge in Grup­pe B.

Doch wenn der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der wähl­ba­ren Türen auf zwei redu­ziert, las­sen wir uns irri­tie­ren. Wir glau­ben, jetzt mehr zu wis­sen und es nur noch mit zwei Türen zu tun zu haben und dass sich die Wahr­schein­lich­kei­ten für die­se neu berech­nen. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 – den­ken wir. Das wäre aller­dings nur dann der Fall, hät­te der Kan­di­dat nicht zuvor eine Tür gewählt.

Zwei mög­li­che Sze­na­ri­en

  1. Sze­na­rio:
    Wür­de der Mode­ra­tor Tor 2 öff­nen, bevor der Kan­di­dat ein Tor wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tor 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch:
    Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt, wird ein Ver­lie­rer-Tor ent­fernt und aus der Kon­kur­renz genom­men. Es gibt jetzt nur noch zwei Tore. Die­se bil­den zusam­men die „neu­en“ 100 Pro­zent. Jedes bekommt die Hälf­te.
  1. Sze­na­rio:
    Im 1. Sze­na­rio redu­ziert der Mode­ra­tor die Tore ein­fach von drei auf zwei – mehr pas­siert nicht. Das eigent­li­che Spiel beginnt erst danach.
    Doch wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, bevor der Show­mas­ter Tor 2 öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re: Es sind dann immer noch drei Tore im Spiel: 2 geschlos­se­ne und 1 geöff­ne­tes. Das geöff­ne­te ist zwar kein wähl­ba­res mehr, aber das spielt kei­ne Rol­le.

Der mani­pu­la­ti­ve Show­mas­ter

Oben ste­hen­de Beob­ach­tun­gen und Über­le­gun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter natür­lich immer eine Tür öff­net (andern­falls hät­te die Auf­ga­ben­stel­lung kei­nen Sinn und soweit ich weiß, wur­de das Spiel auch nie anders gespielt) und die Kan­di­da­tin selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und nie­man­den sug­ges­tiv beein­flusst.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch – absicht­lich oder unbe­wusst. Es ist inter­es­sant, dass auch dann der Wech­sel zum ande­ren Tor aus sta­tis­ti­scher Sicht die Gewinn­chan­ce ver­dop­pelt.

Der kon­fu­se Kan­di­dat

Wenn der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten mani­pu­liert, bedeu­tet das nicht auto­ma­tisch, dass es ihm immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kandidaten/der Kan­di­da­tin kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen geben. Das wür­de schnell jemand mit­krie­gen. Des­halb müss­te er sehr sub­til vor­ge­hen. Trotz­dem müs­sen sei­ne Signa­le gut ver­ständ­lich sein – andern­falls ver­lie­ren sie ihre Wir­kung.

Mani­pu­liert der Spiel­lei­ter den Kan­di­da­ten, wird die­ser die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe, die ins Ver­der­ben führt) des­halb nicht immer bemer­ken. Oder er wird die sub­ti­len Hin­wei­se falsch inter­pre­tie­ren und das Gegen­teil tun. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps und sich dann anders ent­schei­den, als er es sonst getan hät­te, denn in einer Welt, in der der Show­mas­ter kor­rupt ist, wird auch das pas­sie­ren. Das alles kann zum Vor­teil oder Nach­teil der Kan­di­da­tin­nen und Kan­di­da­ten sein.

Nie­mand der Zuschau­er dürf­te auch nur den gerings­ten Ver­dacht haben, dort könn­te etwas nicht mit rech­ten Din­gen zuge­hen. Auf lan­ge Sicht geht so etwas jedoch nie gut. Mit Sicher­heit hät­ten auf­merk­sa­me Zuschau­er in den 1960er und 1970er-Jah­ren das längst bemerkt und es wäre öffent­lich bekannt gewor­den.

Alles zusam­men betrach­tet, wer­den die unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss haben.

Der fau­le Show­mas­ter

Eine ande­re bekann­te Theo­rie ist der „fau­le Show­mas­ter“, der (viel­leicht unbe­wusst) bevor­zugt das Tor öff­net, das ihm am nächs­ten ist. Davon lässt sich ablei­ten: Öff­net er das etwas wei­ter ent­fern­te Tor, steckt das Auto hin­ter dem nähe­ren. Denn ist das Auto hin­ter keins von bei­den, hät­te er kei­nen Grund, den wei­te­ren Weg zu gehen und wür­de das näher­lie­gen­de öff­nen.

Doch auch das hät­ten auf­merk­sa­me Zuschau­er bemerkt, denn am Ende eines jeden Spiels sind alle Tore geöff­net. Frü­her oder spä­ter wäre des­halb jeman­dem Fol­gen­des auf­ge­fal­len: Wählt der Kan­di­dat Tor 1 oder 2, und das Auto steckt auch dahin­ter, öff­net der Show­mas­ter, wenn er auf der rech­ten Sei­te steht, immer Tor 3. Oder: Wählt der Kan­di­dat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öff­net der Show­mas­ter immer Tor 2 (also nie­mals Tor 1).


Einen guten Arti­kel mit anschlie­ßen­der Dis­kus­si­on zur Kon­tro­ver­se um das Zie­gen­pro­blem fin­dest du HIER


1 Gedanke zu „Das Zie­gen­pro­blem“

  1. Ein­fa­cher so erklärt:
    Wenn ich ein­Thor („Wer Thor ohne h schreibt, ist ein Tor, Scho­pen­hau­er) gewählt habe, so sit­ze ich mit 2/3 auf einer Zie­ge. Wenn der Show­mas­ter mir nun eine Zie­ge eli­mi­niert, ist das Thor, das noch übrig bleibt, sta­tis­tisch bes­ser, weil es nur zu einem Drit­tel auf einer Zie­ge sitzt. Also wech­seln.

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