Das Ziegenproblem

Kein Problem und keine Mathematik

Wenn der Show­mas­ter dem Kan­di­da­ten anbie­tet, sein gewähl­tes Tor gegen ein ande­res ein­zu­tau­schen, bie­tet er ihm in Wirk­lich­keit zwei Tore zum Tausch an, von denen eins bereits geöff­net ist.

Vie­le ken­nen es schon, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem: In der Fern­seh­show Let´s make a deal/Geh‘ aufs Gan­ze muss ein Kan­di­dat eine von 3 Türen wäh­len, hin­ter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öff­net der Show­mas­ter eine der bei­den ande­ren Türen, hin­ter der sich eine Nie­te befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder statt­des­sen nicht die lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der Kan­di­dat kann sich jetzt fra­gen:

• Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
• Ist es bes­ser zu wech­seln?
• Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 ste­hen?

Der Einspruch der Skeptiker

Die meis­ten Men­schen sind der Mei­nung, es ist bes­ser zu wech­seln. Doch Skep­ti­ker sagen:

Es ist egal, also fif­ty-fif­ty, oder sogar von Nach­teil, denn man kön­ne nie wis­sen, ob und wel­che Stra­te­gie der Spiel­lei­ter hat, ob er par­tei­isch oder unpar­tei­isch ist. Theo­re­tisch könn­te der Show­mas­ter mani­pu­la­tiv sein, und die­sen Fak­tor dür­fe man nicht igno­rie­ren.

Doch an die­ser Stel­le müs­sen wir uns drin­gend fra­gen: Wel­chen Spiel­raum könn­te der Show­mas­ter denn haben, der es ihm erlaubt, eine “Stra­te­gie” anzu­wen­den? Schließ­lich öff­net er bekannt­lich immer eine Tür mit einer Zie­ge. Es ist also nicht so, dass er dem einen Kan­di­da­ten den Tausch anbie­tet und einem ande­ren nicht. In die­sem Fall wäre die durch­schnitt­li­che Gewinn­wahr­schein­lich­keit (ver­mu­te ich) tat­säch­lich immer 50:50.

Wel­che Mani­pu­la­ti­ons­mög­lich­kei­ten könn­ten der Show­mas­ter dann haben? Ant­wort: Er könn­te die Kan­di­da­ten unter­schied­lich stark zum Wech­sel zu drän­gen — mehr jedoch nicht. Eine Kan­di­da­tin, die das rich­ti­ge Tor bereits gewählt hat und dem Show­mas­ter sym­pa­thisch ist, wird er wahr­schein­lich nicht wie­der­holt fra­gen: “Wol­len sie nicht doch lie­ber zum ande­ren Tor wech­seln?” Bei einem ihm unsym­pa­thi­schen Kan­di­da­ten tut er das viel­leicht doch.

Und selbst wenn er unpar­tei­isch ist (oder zumin­dest ver­sucht, es zu sein), könn­te er trotz­dem unbe­wusst Signa­le aus­sen­den, die den Kandidaten/die Kan­di­da­tin beein­flus­sen.

Doch die­se Ver­mu­tun­gen haben einen ent­schei­den­den Haken: Wür­de der Spiel­lei­ter die Kan­di­da­ten absicht­lich oder unbe­wusst in ihren Ent­schei­dun­gen mani­pu­lie­ren, wür­de das nicht unent­deckt blei­ben. War­um, erklä­re ich am Ende die­ser Sei­te.

Visualisierung statt Mathematik

• Die Grup­pen­auf­tei­lung
• Die Los­me­tho­de
• Die tabel­la­ri­sche Betrach­tung.

Die­se 3 Dar­stel­lungs­wei­sen visua­li­sie­ren auf unter­schied­li­chen Wegen die Auf­ga­ben­stel­lung des Zie­gen­pro­blems und machen es mög­lich zu sehen, was pas­siert, wenn der Show­mas­ter eine Tür öff­net oder der Kan­di­dat wech­selt oder bei sei­ner Wahl bleibt.

Die Gruppenaufteilung

Der Kan­di­dat wählt Tor 1. Dann tei­len wir die Tore in Grup­pen auf. Aus dem gewähl­ten Tor bil­den wir Grup­pe A, aus den nicht gewähl­ten Toren bil­den wir Grup­pe B.

Die wesent­li­che Beob­ach­tung ist: Wür­de der Kan­di­dat jetzt zu Grup­pe B wech­seln, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len, öffnet der Show­mas­ter zuvor jedoch ein Tor in die­ser Grup­pe, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, doch die Gewinn­wahr­schein­lich­keit für Grup­pe B bleibt gleich. Denn die­se wur­de zu Beginn des Spiels fest­ge­legt und kann sich des­halb unmög­lich ändern (so als wür­den die Kar­ten neu gemischt wer­den) — egal ob irgend­wel­che Tore geöff­net wer­den oder nicht. Tor 3 erbt dann den Wahr­schein­lich­keits­wert des ver­stor­be­nen zwei­ten Tors.

Zwei Tore im Tausch gegen eins

Öff­net der Mode­ra­tor eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer wähl­ba­ren Tür, obwohl ihr Wahr­schein­lich­keits­wert zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man es auch so sehen: Der Mode­ra­tor bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von denen eine bereits geöff­net ist.

Noch deut­li­cher zeigt es die­ses Sze­na­rio: Der Kan­di­dat wählt Tür 1, der Show­mas­ter öff­net jedoch nicht Tür 2 und sag­te statt­des­sen: „Wenn Sie nicht Tür 1 neh­men, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öff­nen.“

Auch wenn es auf den ers­ten Blick nicht erkenn­bar ist: Das ist gleich­be­deu­tend mit dem ursprüng­li­chen Sze­na­rio! Denk dar­über nach. Denn ob der Show­mas­ter Tür 2 öff­net und der Kan­di­dat Tür 3 (oder sogar bei­de), ist völ­lig egal.

Wenn der Kan­di­dat wech­selt, wech­selt er nicht die Tür, son­dern die Grup­pe.

Die Los-Methode

Statt der 3 Türen, die im Lau­fe des Spiels geöff­net wer­den, haben wir 2 Scha­len und 3 Lose. Der Spiel­auf­bau und ‑ablauf ist zwar anders als der mit den Türen, Zie­gen und dem Auto. Es wird auch nur 1 Mal gewählt. In sei­nem Kern ist es jedoch das­sel­be Spiel.

Die ers­te Scha­le reprä­sen­tiert Tor 1, die zwei­te Tor 2 und 3. In der ers­ten befin­det sich 1 Los und in der ande­ren sind es 2. Eins der 3 Lose ist der Gewinn, die ande­ren bei­den sind Nie­ten. Die Lose haben unter­schied­li­che Num­mern und der Show­mas­ter weiß wel­che Los­num­mer gewinnt. Jedoch nicht er hat sie in die Scha­len gelegt, son­dern jemand, der nicht wuss­te, wel­ches Los gewinnt.

Ich den­ke, jedem ist klar, dass das Gewinn­los eher in der zwei­ten Scha­le zu fin­den ist. Da wir jedoch nur ein Los zie­hen dür­fen, hilft uns die­se Wis­sen nicht wei­ter.

Doch jetzt nimmt der Show­mas­ter ein Los aus der zwei­ten Scha­le her­aus, fal­tet es aus­ein­an­der und legt es in die Scha­le zurück. Es ist eine Nie­te. Dann for­dert er den Kan­di­da­ten auf, ein Los zu wäh­len. Wel­ches wür­dest du neh­men?

Die­se Vari­an­te des Spiels macht sehr schön deut­lich, war­um der Wech­sel zur zwei­ten Tür die Gewinn­wahr­schein­lich­keit ver­dop­pelt: Weil wir wis­sen, dass Los 3 eine Nie­te ist, ist die Wahr­schein­lich­keit, dass Los 2 der Gewinn ist, grö­ßer, als ohne die­ses Wis­sen. Fol­gen­de “Merk­sät­ze” sind in ihrer Aus­sa­ge mit­ein­an­der iden­tisch:

• Wenn wir die zwei­te Scha­le neh­men, bekom­men wir zwei Lose im Wert von einem.
• Wenn wir Grup­pe B wäh­len, bekom­men wir zwei Türen statt nur einer.
• Wenn wir zur 3. Tür wech­seln, bekom­men wir eine Tür, die bereits ein Fif­ty-Fif­ty-Aus­wahl­ver­fah­ren über­stan­den hat. Das ver­dop­pelt ihre Chan­ce.

Die tabellarische Betrachtung

Die Tabel­la­ri­sche Auf­stel­lung macht es eben­falls deut­lich. Wir wis­sen, im Durch­schnitt wird auf lan­ge Sicht jede Kandidatin/jeder Kan­di­dat bei jedem 3. Spiel an Anfang gleich das rich­ti­ge Tor erwi­schen. Davon lässt sein ablei­ten:

Aus sta­tis­ti­scher Sicht ist es also immer vor­teil­haft, zu wech­seln: Zwei­mal pro drei Spie­le wählt der Kan­di­dat eine Zie­ge, doch er wech­selt und bekommt das Auto. Doch nur ein­mal pro drei Spie­le bekommt er das Auto, wenn er nicht wech­selt.

Kein mathematisches Rätsel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art asso­zia­ti­ve Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung. Im Grun­de genom­men ist es näm­lich sehr ein­fach, doch das Öff­nen der 2. Tür ver­wirrt uns, ohne dass wir es mer­ken. Es ist wie bei einem Magi­er, der mit über­flüs­si­gen Bewe­gun­gen und aller­lei Schnick­schnack unse­rer Auf­merk­sam­keit ablenkt.

Öff­net der Show­mas­ter eine Tür, glau­ben wir, jetzt etwas zu wis­sen, das wir zuvor nicht wuss­ten. Doch das stimmt nicht!

Wir wis­sen jetzt zwar, dass sich hin­ter Tür 2 eine Zie­ge ver­birgt, doch indi­rekt wuss­ten wir das vor­her auch schon: Wir wuss­ten, dass ent­we­der Tür 2 oder 3 eine Zie­gen­tür ist. Wir wuss­ten nur nicht wel­che. Jetzt wis­sen wir zwar, dass es die zwei­te ist, doch die­se Infor­ma­ti­on ist in Wirk­lich­keit nichts Neu­es. Denn:

Tür 2 = Tür 3, Tür 3 = Tür 2

Ob wir wis­sen, dass Tür 2 mit Sicher­heit das Auto nicht ent­hält, oder ob wir das­sel­be von Tür 3 wis­sen, ist egal. Eine von bei­den muss­te es sein — wel­che es letzt­end­lich ist, kann uns egal sein, denn in die­ser Pha­se des Spiels sind Tür 2 und 3 mit­ein­an­der aus­tausch­bar — sie fun­gie­ren zu die­sem Zeit­punkt als Platz­hal­ter für die auf­ge­deck­te Zie­ge in Grup­pe B.

Doch weil der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der wähl­ba­ren Türen auf zwei redu­ziert, las­sen wir uns irri­tie­ren. Wir wer­den auf eine fal­sche Fähr­te gebracht und den­ken, die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ver­blei­ben­den Türen wür­den sich jetzt neu berech­nen. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 — den­ken wir.

Das wür­de nur stim­men, wenn der Kan­di­dat NICHT zuvor eine Tür gewählt hät­te. Ver­stan­den?

Sterben und vererben

1. Sze­na­rio:
   Wür­de der Mode­ra­tor Tor 2 öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten ein Tor wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tor 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch:
   Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt (zusam­men also 100 %), wird ein Ver­lie­rer-Tor geöff­net und als Wahl­mög­lich­keit aus­ge­schlos­sen. Der Gewinn ver­birgt sich also hin­ter eins der bei­den ande­ren Tore. Die­se besit­zen zusam­men jetzt 100 % Gewinn­wahr­schein­lich­keit. Jedes Tor bekommt die Hälf­te.

2. Sze­na­rio:
   Doch wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, bevor der Show­mas­ter Tor 2 öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re. Denn in Grup­pe A, hin­ter dem abge­trenn­ten ers­ten Tor, könn­te sich immer noch der Gewinn befin­den. Im 1. Sze­na­rio ist es jedoch nicht so. Dort ist das vom Show­mas­ter abge­trenn­te Tor keins der poten­zi­el­len Gewin­ner­to­re mehr. Im 2. Sze­na­rio haben wir also drei Tore im Ren­nen, im 1. nur zwei.

Wenn wir den­ken, dass sich die Gewinn­wahr­schein­lich­keit durch den Wech­sel zum ande­ren Tor nicht ver­dop­pelt, ver­wech­seln wir das 2. Sze­na­rio mit dem 1.

Wird ein Tor in Grup­pe B geöff­net, exis­tiert es zwar als Wahl­mög­lich­keit nicht mehr, sein Platz in Grup­pe B bleibt jedoch bestehen. Die­ser hat einen poten­zi­el­len Wahr­schein­lich­keits­wert von 1/3 — egal ob das Tor geöff­net ist oder nicht. Sein Anteil am Wahr­schein­lich­keits­wert der Grup­pe B kann nicht aus Grup­pe B ver­schwin­den, da er an die­se gekop­pelt ist.

Ein­zeln hat jedes Tor eine Wahr­schein­lich­keit von 1/3, als Grup­pe jedoch 2/3. Stirbt ein Tor in Grup­pe B, hat die Grup­pe immer noch 2/3 Wahr­schein­lich­keit. Das ande­re Tor ist jetzt der allei­ni­ge Trä­ger des Wahr­schein­lich­keits­wer­tes der Grup­pe B.

Der manipulative Showmaster

Oben ste­hen­de Beob­ach­tun­gen und Über­le­gun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter natür­lich immer eine Tür öff­net (andern­falls hät­te die Auf­ga­ben­stel­lung kei­nen Sinn) und den Kan­di­da­ten selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und den Kan­di­da­ten oder die Kan­di­da­tin nicht sug­ges­tiv beein­flusst.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch — absicht­lich oder unbe­wusst. Es ist inter­es­sant, dass auch dann der Wech­sel zum ande­ren Tor aus sta­tis­ti­scher Sicht die Gewinn­wahr­schein­lich­keit ver­dop­pelt.

Der konfuse Kandidat

Wenn der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten mani­pu­liert, bedeu­tet das nicht unbe­dingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kandidaten/der Kan­di­da­tin kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen oder Tipps geben. Das wür­de schnell jemand mit­krie­gen und des­halb müs­sen sie sehr sub­til sein. Trotz­dem müs­sen die Signa­le gut ver­ständ­lich sein — andern­falls ver­lie­ren sie ihre Wir­kung.

Mani­pu­liert der Spiel­lei­ter den Kan­di­da­ten, wird die­ser die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe, die ins Ver­der­ben führt) des­halb nicht immer bemer­ken. Oder er wird die sub­ti­len Hin­wei­se falsch inter­pre­tie­ren und das Gegen­teil tun. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps und sich dann anders ent­schei­den, denn in einer Welt, in der der Show­mas­ter kor­rupt ist, wird auch das vor­kom­men. Das alles kann dann zum Vor­teil oder Nach­teil der Kan­di­da­tin sein.

Nie­mand der Zuschau­er dürf­te auch nur den gerings­ten Ver­dacht haben, dort könn­te etwas nicht mit rech­ten Din­gen zuge­hen. Auf lan­ge Sicht geht so etwas jedoch nie gut. Mit Sicher­heit hät­ten das bereits in den 1960er und 1970er-Jah­ren auf­merk­sa­me Zuschau­er bemerkt und es wäre öffent­lich bekannt gewor­den.

Alles zusam­men betrach­tet wer­den die unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss haben.

Der faule Showmaster

Eine wei­te­re Theo­rie ist der „fau­le“ Show­mas­ter, der (viel­leicht unbe­wusst) bevor­zugt das Tor öff­net, das ihm am nächs­ten ist. Davon lässt sich ablei­ten: Öff­net er das etwas wei­ter ent­fern­te Tor, steckt das Auto hin­ter dem nähe­ren. Denn ist das Auto hin­ter keins von bei­den, hät­te er kei­nen Grund den wei­te­ren Weg zu gehen und wür­de das näher­lie­gen­de Tor öff­nen.

Die­se Theo­rie lässt sich jedoch ein­fach wider­le­gen: Wür­de sie stim­men, hät­ten auch das längst eini­ge auf­merk­sa­me Leu­te bemerkt, denn am Ende des Spiels sind alle Tore geöff­net. Frü­her oder spä­ter wäre jeman­dem Fol­gen­des auf­ge­fal­len: Wählt der Kan­di­dat Tor 1, und das Auto steckt auch dahin­ter, öff­net der Show­mas­ter, wenn er auf der rech­ten Sei­te steht, bevor­zugt Tor 3. Oder: Wählt der Kan­di­dat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öff­net der Show­mas­ter bevor­zugt Tor 2 usw.