Ein eigentlich einfaches Problem
Viele Menschen werden davon irgendwo schon einmal gehört oder gelesen haben. Es wird auch unter anderen Bezeichnungen genannt, beispielsweise das „Drei-Türen-Problem“. In dem Film „21“ von Robert Luketic wird es zu Beginn erwähnt. Im Internet wird es in vielen Beiträgen behandelt, so gibt es einen umfassenden Wikipedia-Eintrag zum Ziegenproblem. Für alle, die vom Ziegenproblem zum ersten Mal hören, hier eine kurze Darstellung:
In der Fernseh-Quizshow „Geh aufs Ganze“ (gibt es heute nicht mehr, soweit ich weiß) wird der Kandidat aufgefordert, eine von insgesamt 3 Türen zu wählen. Hinter einer davon befindet sich der Hauptgewinn, hinter den anderen eine Niete oder ein Trostpreis. Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen, hinter der sich kein Gewinn befindet, und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Es gibt 3 Wahlmöglichkeiten:
A: Sollte der Kandidaten bei seiner Wahl bleiben?
B: Ist es besser zu wechseln?
C: Ist es egal?
Es gibt viele Lösungswege, textliche, tabellarische oder mathematische. Alle sind mehr oder weniger komplex. Eine gute Zusammenfassung findet man in dem oben genannten Wikipedia-Eintrag.
Viele Menschen haben sich über dieses doch eigentlich triviale Problem den Kopf zerbrochen und es gibt unterschiedliche Meinungen. Man hat sogar Marilyn vos Savant konsultiert (die als Menschen mit dem höchsten IQ der Welt gilt oder galt!). Ihre Antwort ist in der Tat die einfachste von allen. Sie wandelt die Darstellung des Ziegenproblems etwas ab und macht es anschaulicher. Sie sagt:
„Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht?“ (Wikipedia/Ziegenproblem)
Diese Erklärung ist in der Tat die beste und einfachster von allen. Doch obwohl sie so einleuchtend ist, wird sie trotzdem von einigen Skeptikern angezweifelt oder sogar abgelehnt. Sie sagen, die Eine-Million-Türen-Methode könnte nicht auf die Drei-Türen-Konstellation übertragen werden. Ein anderer Kritikpunkt ist der Moderator, der durch sein manipulatives Verhalten Einfluss auf die Entscheidung des Kandidaten haben kann. Aus diesem Grund habe ich eine Methode entwickelt, die das drei-Türen-Problem aus einer anderen Perspektive beleuchten:
Das Gruppenmodel
Die Grafik ist eine idealisierte Darstellung und nur sinnvoll, wenn der Kandidat Tür 1 oder 3 wählt. In diesem Beispiel ist es Tür 1.
Wie jeder weiß, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für jedes einzelne Tor 1/3. Kombiniert man die Wahrscheinlichkeitswerte von jeweils 1/3 der einzelnen Tore miteinander und bildet Gruppen, entsteht dieses Bild:
Würde der Kandidat jetzt Gruppe B wählen, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und Tor 3 zu wählen, was die Trefferwahrscheinlichkeit von 66,6% auf 33,3% halbiert hätte. Öffnet der Quizmaster jedoch ein Tor in Gruppe B, fällt dieser zweite Schritt weg, sodass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei 66,66% bleibt.
Bietet der Quizmaster dem Kandidaten Tür 3 zum Tausch gegen Tür 1 an, ist es dasselbe, als würde er Gruppe B zum Tausch gegen Gruppe A anbieten.
Gruppe B besteht jedoch nur noch aus einer verschlossenen Tür, obwohl sie zwei repräsentiert. Wählen wir also Gruppe B, bekommen wir 2 Türen, von der eine bereits eliminiert ist. Sollte uns auch das nicht überzeugen, hilft vielleicht folgende Vorstellung:
Anstatt dass der Quizmaster dem Kandidaten Tür 3 zum Tausch gegen Tür 1 anbietet, macht er ihm folgendes Angebot:
“Wenn sie Tür 1 NICHT nehmen, gebe ich Ihnen Tür 2 UND 3 im ungeöffneten Zustand. Sie dürfen dann beide öffnen.”
Verstanden? Wenn der Quizmaster eine Tür in Gruppe B öffnet, ist es das Gleiche, als würde er dem Kandidaten das Angebot machen, beide Türen in Gruppe B öffnen zu dürfen.
Die Verwirrung
Dass eigentlich keine Tür geöffnet werden muss, um dem Kandidaten einen Entscheidungsanreiz zu bieten, ist eine interessante Beobachtung. Denn ob er »eine verschlossene und eine geöffnete« oder »zwei verschlossene« Türen wählt, hat auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung keinen Einfluss. Die Wahrscheinlichkeiten wurden vorher schon festgelegt und können sich nach dem Öffnen einer Tür nicht ändern.
Das Türöffnen kann daher als symbolischer Akt betrachten werden und scheint so etwas wie ein Verwirrspiel zu sein. Es verwirrt tatsächlich etwas, weil man verleitet wird, zu überlegen, ob und inwieweit es relevant ist und man wechseln sollte oder nicht. Da kann man schon durcheinanderkommen. Wenn alle Türen verschlossen bleiben, und wir beide öffnen dürfen, gibt es solche Überlegungen nicht.
Kein mathematisches Rätsel
Aus diesem Grund würde ich das Ziegenproblem nicht als mathematisches Rätsel bezeichnen. Wenn wir denken, die Wahrscheinlichkeit für die verbliebenen zwei verschlossenen Türen ist fifty-fifty, nachdem der Quizmaster eine Tür geöffnet hat, haben wir die Aufgabenstellung lediglich nicht richtig verstanden: Wählt der Kandidat ein Tor, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter einem der beiden anderen der Gewinn verbirgt, doppelt so hoch (2/3 statt 1/3). Bietet der Quizmaster dem Kandidaten die Gruppe B (also zwei Tore, von denen eins bereits geöffnet ist) dann zum Tausch gegen Gruppe A an (das aus nur einem verschlossenen Tor besteht), kann man auch sagen: Er bietet ihm 2/3 Wahrscheinlichkeit zum Tausch gegen 1/3 Wahrscheinlichkeit an.