Das Zie­gen­pro­blem


Drei Türen, leicht verfremdet dargestellt.

Ein eigent­lich ein­fa­ches Pro­blem

Vie­le Men­schen wer­den davon irgend­wo schon ein­mal gehört oder gele­sen haben. Es wird auch unter ande­ren Bezeich­nun­gen genannt, bei­spiels­wei­se das „Drei-Türen-Pro­blem“. In dem Film „21“ von Robert Luke­tic wird es zu Beginn erwähnt. Im Inter­net wird es in vie­len Bei­trä­gen behan­delt, so gibt es einen umfas­sen­den Wiki­pe­dia-Ein­trag zum Zie­gen­pro­blem. Für alle, die vom Zie­gen­pro­blem zum ers­ten Mal hören, hier eine kur­ze Dar­stel­lung:
In der Fern­seh-Quiz­show „Geh aufs Gan­ze“ (gibt es heu­te nicht mehr, soweit ich weiß) wird der Kan­di­dat auf­ge­for­dert, eine von ins­ge­samt 3 Türen zu wäh­len. Hin­ter einer davon befin­det sich der Haupt­ge­winn, hin­ter den ande­ren eine Nie­te oder ein Trost­preis. Nach­dem der Kan­di­dat eine Tür gewählt hat, öff­net der Quiz­mas­ter eine der bei­den ande­ren, hin­ter der sich kein Gewinn befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt, oder nicht lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Es gibt 3 Wahl­mög­lich­kei­ten:

A: Soll­te der Kan­di­da­ten bei sei­ner Wahl blei­ben?
B: Ist es bes­ser zu wech­seln?
C: Ist es egal?

Es gibt vie­le Lösungs­we­ge, text­li­che, tabel­la­ri­sche oder mathe­ma­ti­sche. Alle sind mehr oder weni­ger kom­plex. Eine gute Zusam­men­fas­sung fin­det man in dem oben genann­ten Wiki­pe­dia-Ein­trag.
Vie­le Men­schen haben sich über die­ses doch eigent­lich tri­via­le Pro­blem den Kopf zer­bro­chen und es gibt unter­schied­li­che Mei­nun­gen. Man hat sogar Mari­lyn vos Savant kon­sul­tiert (die als Men­schen mit dem höchs­ten IQ der Welt gilt oder galt!). Ihre Ant­wort ist in der Tat die ein­fachs­te von allen. Sie wan­delt die Dar­stel­lung des Zie­gen­pro­blems etwas ab und macht es anschau­li­cher. Sie sagt:

„Ja, Sie soll­ten wech­seln. Das zuerst gewähl­te Tor hat die Gewinn­chan­ce von 1/3, aber das zwei­te Tor hat eine Gewinn­chan­ce von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Gesche­hen vor­zu­stel­len. Neh­men Sie an, es gäbe 1 Mil­li­on Tore und Sie wäh­len Tor Num­mer 1. Dann öff­net der Mode­ra­tor, der weiß, was hin­ter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer ver­mei­det, alle Tore bis auf Tor Num­mer 777777. Sie wür­den doch sofort zu die­sem Tor wech­seln, oder nicht?“ (Wikipedia/Ziegenproblem)

Die­se Erklä­rung ist in der Tat die bes­te und ein­fachs­ter von allen. Doch obwohl sie so ein­leuch­tend ist, wird sie trotz­dem von eini­gen Skep­ti­kern ange­zwei­felt oder sogar abge­lehnt. Sie sagen, die Eine-Mil­li­on-Türen-Metho­de könn­te nicht auf die Drei-Türen-Kon­stel­la­ti­on über­tra­gen wer­den. Ein ande­rer Kri­tik­punkt ist der Mode­ra­tor, der durch sein mani­pu­la­ti­ves Ver­hal­ten Ein­fluss auf die Ent­schei­dung des Kan­di­da­ten haben kann. Aus die­sem Grund habe ich eine Metho­de ent­wi­ckelt, die das drei-Türen-Pro­blem aus einer ande­ren Per­spek­ti­ve beleuch­ten:

Das Grup­pen­mo­del

Die Gra­fik ist eine idea­li­sier­te Dar­stel­lung und nur sinn­voll, wenn der Kan­di­dat Tür 1 oder 3 wählt. In die­sem Bei­spiel ist es Tür 1.

Wie jeder weiß, ist die Gewinn­wahr­schein­lich­keit für jedes ein­zel­ne Tor 1/3. Kom­bi­niert man die Wahr­schein­lich­keits­wer­te von jeweils 1/3 der ein­zel­nen Tore mit­ein­an­der und bil­det Grup­pen, ent­steht die­ses Bild:

Wür­de der Kan­di­dat jetzt Grup­pe B wäh­len, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und Tor 3 zu wäh­len, was die Tref­fer­wahr­schein­lich­keit von 66,6% auf 33,3% hal­biert hät­te. Öff­net der Quiz­mas­ter jedoch ein Tor in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, sodass die Gewinn­wahr­schein­lich­keit bei 66,66% bleibt.

Bie­tet der Quiz­mas­ter dem Kan­di­da­ten Tür 3 zum Tausch gegen Tür 1 an, ist es das­sel­be, als wür­de er Grup­pe B zum Tausch gegen Grup­pe A anbie­ten.

Grup­pe B besteht jedoch nur noch aus einer ver­schlos­se­nen Tür, obwohl sie zwei reprä­sen­tiert. Wäh­len wir also Grup­pe B, bekom­men wir 2 Türen, von der eine bereits eli­mi­niert ist. Soll­te uns auch das nicht über­zeu­gen, hilft viel­leicht fol­gen­de Vor­stel­lung:

Anstatt dass der Quiz­mas­ter dem Kan­di­da­ten Tür 3 zum Tausch gegen Tür 1 anbie­tet, macht er ihm fol­gen­des Ange­bot:

Wenn sie Tür 1 NICHT neh­men, gebe ich Ihnen Tür 2 UND 3 im unge­öff­ne­ten Zustand. Sie dür­fen dann bei­de öff­nen.”

Ver­stan­den? Wenn der Quiz­mas­ter eine Tür in Grup­pe B öff­net, ist es das Glei­che, als wür­de er dem Kan­di­da­ten das Ange­bot machen, bei­de Türen in Grup­pe B öff­nen zu dür­fen.

Die Ver­wir­rung

Dass eigent­lich kei­ne Tür geöff­net wer­den muss, um dem Kan­di­da­ten einen Ent­schei­dungs­an­reiz zu bie­ten, ist eine inter­es­san­te Beob­ach­tung. Denn ob er »eine ver­schlos­se­ne und eine geöff­ne­te« oder »zwei ver­schlos­se­ne« Türen wählt, hat auf die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung kei­nen Ein­fluss. Die Wahr­schein­lich­kei­ten wur­den vor­her schon fest­ge­legt und kön­nen sich nach dem Öff­nen einer Tür nicht ändern.

Das Tür­öff­nen kann daher als sym­bo­li­scher Akt betrach­ten wer­den und scheint so etwas wie ein Ver­wirr­spiel zu sein. Es ver­wirrt tat­säch­lich etwas, weil man ver­lei­tet wird, zu über­le­gen, ob und inwie­weit es rele­vant ist und man wech­seln soll­te oder nicht. Da kann man schon durch­ein­an­der­kom­men. Wenn alle Türen ver­schlos­sen blei­ben, und wir bei­de öff­nen dür­fen, gibt es sol­che Über­le­gun­gen nicht.

Kein mathe­ma­ti­sches Rät­sel

Aus die­sem Grund wür­de ich das Zie­gen­pro­blem nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel bezeich­nen. Wenn wir den­ken, die Wahr­schein­lich­keit für die ver­blie­be­nen zwei ver­schlos­se­nen Türen ist fif­ty-fif­ty, nach­dem der Quiz­mas­ter eine Tür geöff­net hat, haben wir die Auf­ga­ben­stel­lung ledig­lich nicht rich­tig ver­stan­den: Wählt der Kan­di­dat ein Tor, ist die Wahr­schein­lich­keit, dass sich hin­ter einem der bei­den ande­ren der Gewinn ver­birgt, dop­pelt so hoch (2/3 statt 1/3). Bie­tet der Quiz­mas­ter dem Kan­di­da­ten die Grup­pe B (also zwei Tore, von denen eins bereits geöff­net ist) dann zum Tausch gegen Grup­pe A an (das aus nur einem ver­schlos­se­nen Tor besteht), kann man auch sagen: Er bie­tet ihm 2/3 Wahr­schein­lich­keit zum Tausch gegen 1/3 Wahr­schein­lich­keit an.