Das Ziegenproblem

Kein Problem und keine Mathematik

Der Show­mas­ter sagt zum Kan­di­da­ten: Wenn Sie nicht Tür 1 neh­men, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öffnen.

Vie­le ken­nen es schon, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem: In der Fern­seh­show Let‘s make a deal/Geh‘ aufs Gan­ze muss ein Kan­di­dat eine von 3 Türen wäh­len, hin­ter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öff­net der Show­mas­ter eine der bei­den ande­ren Türen, hin­ter der sich eine Nie­te befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder statt­des­sen nicht lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der Kan­di­dat kann sich jetzt fragen:

• Soll ich bei mei­ner Wahl bleiben?
• Ist es bes­ser zu wechseln?
• Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 stehen?

Der Einspruch der Skeptiker

Die meis­ten Men­schen sind der Mei­nung, es ist bes­ser zu wech­seln. Doch Skep­ti­ker sagen:

Es ist egal, also fif­ty-fif­ty, oder sogar von Nach­teil, denn man kön­ne nie wis­sen, wel­che Stra­te­gie der Spiel­lei­ter hat, ob er par­tei­isch oder unpar­tei­isch ist. Theo­re­tisch könn­te er mani­pu­la­tiv sein, und die­sen Fak­tor dür­fe man nicht igno­rie­ren.

Doch wel­chen Spiel­raum könn­te der Show­mas­ter haben, der es ihm erlaubt, eine “Stra­te­gie” anzu­wen­den? Schließ­lich öff­net er bekannt­lich immer eine Tür mit einer Zie­ge. Es ist also nicht so, dass er dem einen Kan­di­da­ten den Tausch anbie­tet und einem ande­ren nicht. In die­sem Fall wäre die durch­schnitt­li­che Gewinn­wahr­schein­lich­keit viel­leicht tat­säch­lich 50:50.

Alles, was der Show­mas­ter tun könn­te, wäre, die Kan­di­da­ten unter­schied­lich stark zum Wech­sel zu drän­gen. Eine Kan­di­da­tin, die das rich­ti­ge Tor bereits gewählt hat und dem Show­mas­ter sym­pa­thisch ist, wird er wahr­schein­lich nicht wie­der­holt fra­gen: “Wol­len sie nicht doch lie­ber zum ande­ren Tor wech­seln?” Bei einem ihm unsym­pa­thi­schen Kan­di­da­ten tut er das viel­leicht doch.

Und selbst wenn er unpar­tei­isch ist (oder zumin­dest ver­sucht, es zu sein), könn­te er unbe­wusst Signa­le aus­sen­den, die den Kandidaten/die Kan­di­da­tin beein­flus­sen.

Doch wür­de der Spiel­lei­ter die Kan­di­da­ten tat­säch­lich in ihren Ent­schei­dun­gen beein­flus­sen, hät­te das schon längst jemand bemerkt. War­um, erklä­re ich am Ende die­ser Seite.

Veranschaulichung des Ziegenproblems

• Grup­pen­auf­tei­lung
• Los­me­tho­de
• Tabel­la­ri­sche Betrachtung.

Die­se 3 Dar­stel­lungs­wei­sen visua­li­sie­ren auf unter­schied­li­chen Wegen die Auf­ga­ben­stel­lung des Zie­gen­pro­blems und machen es mög­lich zu sehen, was pas­siert, wenn der Show­mas­ter eine Tür öff­net oder der Kan­di­dat wech­selt oder bei sei­ner Wahl bleibt.

Die Gruppenaufteilung

Der Kan­di­dat wählt Tor 1. Dann tei­len wir die Tore in Grup­pen auf. Aus dem gewähl­ten Tor bil­den wir Grup­pe A, aus den nicht gewähl­ten Toren bil­den wir Grup­pe B.

Die wesent­li­che Beob­ach­tung ist: Wür­de der Kan­di­dat in die­ser Situa­ti­on zu Grup­pe B wech­seln, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len (was die Wahr­schein­lich­keit wie­der auf 1/3 redu­ziert), öffnet der Show­mas­ter zuvor jedoch ein Tor in die­ser Grup­pe, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, doch die Gewinn­wahr­schein­lich­keit für Grup­pe B bleibt gleich. Denn die­se wur­de zu Beginn des Spiels fest­ge­legt und kann sich des­halb unmög­lich ändern (so als wür­den die Kar­ten neu gemischt wer­den) — egal ob irgend­wel­che Tore geöff­net wer­den oder nicht.

Das noch ver­schlos­se­ne Tor erbt dann den Wahr­schein­lich­keits­wert des “eli­mi­nier­ten” Tors und ist ab jetzt der allei­ni­ge Wahr­schein­lich­keits­trä­ger in Grup­pe B.

Der Kandidat wechselt nicht die Tür, sondern die Gruppe.

Öff­net der Mode­ra­tor eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer wähl­ba­ren Tür, obwohl ihr Wahr­schein­lich­keits­wert zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man es auch so sehen: Der Mode­ra­tor bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von denen eine bereits geöff­net ist.

Noch deut­li­cher zeigt es die­ses Sze­na­rio: Die Kan­di­da­tin wählt Tür 1, der Show­mas­ter öff­net jedoch nicht Tür 2 und sag­te statt­des­sen: „Wenn Sie nicht Tür 1 neh­men, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öff­nen.“

Denn ob der Show­mas­ter Tür 2 öff­net und die Kan­di­da­tin Tür 3 oder der Show­mas­ter kei­ne und die Kan­di­da­tin statt­des­sen bei­de, ist völ­lig egal, denn es ist unwich­tig, wer die Türen öffnet.

Die Los-Methode

Statt der 3 Türen, die im Lau­fe des Spiels geöff­net wer­den, haben wir 2 Scha­len und 3 Lose. Der Spiel­auf­bau und ‑ablauf ist zwar anders als der mit den Türen, Zie­gen und dem Auto. Es wird auch nur 1 Mal gewählt. In sei­nem Kern ist es jedoch das­sel­be Spiel.

Die ers­te Scha­le reprä­sen­tiert Tor 1, die zwei­te Tor 2 und 3. In der ers­ten befin­det sich 1 Los und in der ande­ren sind es 2. Eins der 3 Lose ist der Gewinn, die ande­ren bei­den sind Nie­ten. Die Lose haben unter­schied­li­che Num­mern und der Show­mas­ter weiß, wel­che Los­num­mer gewinnt. Jedoch nicht er hat sie in die Scha­len gelegt, son­dern jemand, der nicht wuss­te, wel­ches Los gewinnt.

Ich den­ke, jedem ist klar, dass das Gewinn­los eher in der zwei­ten Scha­le zu fin­den ist. Da wir jedoch nur ein Los zie­hen dür­fen, hilft uns die­ses Wis­sen nicht weiter.

Doch jetzt nimmt der Show­mas­ter ein Los aus der zwei­ten Scha­le her­aus, fal­tet es aus­ein­an­der und legt es in die Scha­le zurück. Es ist eine Nie­te. Dann for­dert er den Kan­di­da­ten auf, eine Scha­le zu wählen.

Die­se Vari­an­te des Spiels macht deut­lich, war­um der Wech­sel zur zwei­ten Tür die Gewinn­wahr­schein­lich­keit ver­dop­pelt. Er ist ganz sim­pel: In der zwei­ten Scha­le befin­den sich 2 Lose, in der ers­ten hin­ge­gen nur 1. Wählt die Kan­di­da­tin die zwei­te Scha­le, bekommt sie zwei Lose, obwohl sie nur ein Mal zieht.

• Wenn wir die zwei­te Scha­le neh­men, bekom­men wir zwei Lose im Wert von einem.
• Wenn wir Grup­pe B wäh­len, bekom­men wir zwei Türen statt nur einer.
• Wenn wir zur 3. Tür wech­seln, bekom­men wir eine Tür, die bereits ein Fif­ty-Fif­ty-Aus­wahl­ver­fah­ren über­stan­den hat. Das ver­dop­pelt ihre Chance.

Die tabellarische Betrachtung

Die Tabel­la­ri­sche Auf­stel­lung macht es eben­falls deut­lich. Wir wis­sen, im Durch­schnitt wird auf lan­ge Sicht jede Kandidatin/jeder Kan­di­dat bei jedem 3. Spiel an Anfang gleich das rich­ti­ge Tor erwi­schen. Davon lässt sein ableiten:

Aus sta­tis­ti­scher Sicht ist es also immer vor­teil­haft, zu wech­seln: Zwei­mal pro drei Spie­le wählt der Kan­di­dat eine Zie­ge, doch er wech­selt und bekommt das Auto. Doch nur ein­mal pro drei Spie­le bekommt er das Auto, wenn er nicht wechselt.

Kein mathematisches Rätsel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art asso­zia­ti­ve Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung. Im Grun­de genom­men ist es ein­fach, doch das Öff­nen der 2. Tür “ver­wirrt” eini­ge Leu­te, ohne dass sie es mer­ken. Es ist wie bei einem Magi­er, der mit über­flüs­si­gen Bewe­gun­gen und aller­lei Schnick­schnack unse­rer Auf­merk­sam­keit ablenkt.

Öff­net der Show­mas­ter eine Tür, glau­ben wir Infor­ma­tio­nen erhal­ten zu haben: Wir glau­ben, der Spiel­lei­ter hät­te uns etwas ver­ra­ten. Doch in Wirk­lich­keit stimmt das nicht.

Wir wis­sen jetzt zwar, hin­ter Tür 2 ver­birgt sich mit Sicher­heit eine Zie­ge, doch indi­rekt wuss­ten wir das vor­her auch schon: Wir wuss­ten, dass ent­we­der Tür 2 oder 3 eine Zie­gen­tür ist. Wir wuss­ten nur nicht wel­che. Öff­net der Spiel­lei­ter nicht Tür 3, öff­nen er Tür 2, öff­net nicht Tür 2, öff­nen er Tür 3. Eine von bei­den muss­te es sein und aus die­sem Grund ist es unwich­tig, wel­che es ist. Wenn wir also wis­sen, dass Tür 2 eine Zie­ge ist, ist es das­sel­be, als wüss­ten wir, dass Tür 3 eine Zie­ge ist. Des­we­gen hilft uns das Wis­sen, dass Tür 2 eine Zie­ge ist, nicht wei­ter. Es ist eine Schein­in­for­ma­ti­on.

In die­ser Pha­se des Spiels sind Tür 2 und 3 näm­lich mit­ein­an­der aus­tausch­bar bzw. iden­tisch — sie fun­gie­ren ledig­lich als Platz­hal­ter für die auf­ge­deck­te Zie­ge in Grup­pe B.

Doch weil der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der wähl­ba­ren Türen auf zwei redu­ziert, las­sen wir uns irri­tie­ren. Wir wer­den auf eine fal­sche Fähr­te gebracht und den­ken, die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ver­blei­ben­den Türen hät­ten sich jetzt neu ver­teilt. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 — den­ken wir. Doch das wür­de nur dann stim­men, wenn der Kan­di­dat NICHT zuvor eine Tür gewählt hät­te. Dar­in liegt unser Beobachtungsfehler.

Sterben und vererben

1. Sze­na­rio:
   Wür­de der Mode­ra­tor Tor 2 öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten ein Tor wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tor 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch:
   Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt (zusam­men also 100 %), wird ein Ver­lie­rer-Tor ent­fernt, also aus der Kon­kur­renz genom­men. Es gibt jetzt nur noch zwei Tore. Die­se besit­zen zusam­men jetzt die 100 %. Jedes Tor bekommt die Hälfte.

2. Sze­na­rio:
   Doch wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, bevor der Show­mas­ter Tor 2 öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re. Denn in Grup­pe A, hin­ter dem sepa­rier­ten ers­ten Tor, könn­te sich nach wie vor der Gewinn befin­den. Es sind immer noch 3 Tore im Ren­nen. Im 1. Sze­na­rio ist das jedoch nicht so. Dort ist das vom Show­mas­ter abge­trenn­te Tor keins der poten­zi­el­len Gewin­ner­to­re mehr.

Wenn wir den­ken, die Gewinn­wahr­schein­lich­keit wäre für die rest­li­chen 2 Tor 50:50, ver­wech­seln wir das 2. Sze­na­rio mit dem ersten.

Der manipulative Showmaster

Oben ste­hen­de Beob­ach­tun­gen und Über­le­gun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter natür­lich immer eine Tür öff­net (andern­falls hät­te die Auf­ga­ben­stel­lung kei­nen Sinn) und den Kan­di­da­ten selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und den Kan­di­da­ten oder die Kan­di­da­tin nicht sug­ges­tiv beein­flusst.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch — absicht­lich oder unbe­wusst. Es ist inter­es­sant, dass auch dann der Wech­sel zum ande­ren Tor aus sta­tis­ti­scher Sicht die Gewinn­wahr­schein­lich­keit verdoppelt.

Der konfuse Kandidat

Wenn der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten mani­pu­liert, bedeu­tet das nicht unbe­dingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kandidaten/der Kan­di­da­tin kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen geben. Das wür­de schnell jemand mit­krie­gen und des­halb müss­te er sehr sub­til vor­ge­hen. Trotz­dem müs­sen die Signa­le gut ver­ständ­lich sein — andern­falls ver­lie­ren sie ihre Wir­kung.

Mani­pu­liert der Spiel­lei­ter den Kan­di­da­ten, wird die­ser die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe, die ins Ver­der­ben führt) des­halb nicht immer bemer­ken. Oder er wird die sub­ti­len Hin­wei­se falsch inter­pre­tie­ren und das Gegen­teil tun. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps und sich dann anders ent­schei­den, denn in einer Welt, in der der Show­mas­ter kor­rupt ist, wird auch das vor­kom­men. Das alles kann zum Vor­teil oder Nach­teil der Kan­di­da­tin sein.

Nie­mand der Zuschau­er dürf­te auch nur den gerings­ten Ver­dacht haben, dort könn­te etwas nicht mit rech­ten Din­gen zuge­hen. Auf lan­ge Sicht geht so etwas jedoch nie gut. Mit Sicher­heit hät­ten bereits in den 1960er und 1970er-Jah­ren auf­merk­sa­me Zuschau­er das bemerkt und es wäre öffent­lich bekannt gewor­den.

Alles zusam­men betrach­tet wer­den die unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss haben.

Der faule Showmaster

Eine wei­te­re Theo­rie ist der „fau­le“ Show­mas­ter, der (viel­leicht unbe­wusst) bevor­zugt das Tor öff­net, das ihm am nächs­ten ist. Davon lässt sich ablei­ten: Öff­net er das etwas wei­ter ent­fern­te Tor, steckt das Auto hin­ter dem nähe­ren. Denn ist das Auto hin­ter keins von bei­den, hät­te er kei­nen Grund den wei­te­ren Weg zu gehen und wür­de das näher­lie­gen­de Tor öffnen.

Doch auch das hät­ten auf­merk­sa­me Zuschau­er schon längst bemerkt, denn am Ende des Spiels sind alle Tore geöff­net. Frü­her oder spä­ter wäre des­halb jeman­dem Fol­gen­des auf­ge­fal­len: Wählt der Kan­di­dat Tor 1, und das Auto steckt auch dahin­ter, öff­net der Show­mas­ter, wenn er auf der rech­ten Sei­te steht, bevor­zugt Tor 3. Oder: Wählt der Kan­di­dat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öff­net der Show­mas­ter bevor­zugt Tor 2 usw.