Das Ziegenproblem

Das Ziegenproblem


Ein eigentlich einfaches Problem

Viele Menschen werden davon irgendwo schon einmal gehört oder gelesen haben. Es wird auch unter anderen Bezeichnungen genannt, beispielsweise das „Dreitürenproblem“. In dem Film „21“ von Robert Luketic wird es zu Beginn erwähnt. Im Internet wird es in vielen Beiträgen behandelt, so gibt es einen umfassenden Wikipedia-Eintrag zum Ziegenproblem. Für alle, die vom Ziegenproblem zum ersten Mal hören, hier eine kurze Darstellung:
In der Fernseh-Quizshow „Geh aufs Ganze“ (gibt es heute nicht mehr, soweit ich weiß) wird der Kandidat aufgefordert, eine von insgesamt 3 Türen zu wählen. Hinter einer davon befindet sich der Hauptgewinn, hinter den anderen eine Niete oder ein Trostpreis. Nachdem der Kandidat eine Tür gewählt hat, öffnet der Quizmaster eine der beiden anderen, hinter der sich kein Gewinn befindet, und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt, oder nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Die Frage ist nun:

A: Sollte der Kandidaten bei seiner Wahl bleiben?
B: Ist es besser zu wechseln?
C: Oder ist es egal?

Es gibt viele Lösungswege, textliche, tabellarische oder mathematische. Alle sind mehr oder weniger komplex. Eine gute Zusammenfassung findet man in dem oben genannten Wikipedia-Eintrag.
Viele Menschen haben sich über dieses doch eigentlich triviale Problem den Kopf zerbrochen und es gibt unterschiedliche Meinungen. Man hat sogar Marilyn vos Savant konsultiert (die als Menschen mit dem höchsten IQ der Welt gilt oder galt!). Ihre Antwort ist in der Tat die einfachste von allen. Sie wandelt die Darstellung des Ziegenproblems etwas ab und macht es anschaulicher. Sie sagt:

„Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht?“ (Wikipedia/Ziegenproblem)

Diese Erklärung ist in der Tat die beste und einfachster von allen. Doch obwohl sie so einleuchtend ist, wird sie trotzdem von einigen Skeptikern angezweifelt oder sogar abgelehnt. Skeptiker sagen, die Eine-Million-Türen-Methode könnte nicht auf die Drei-Türen-Konstellation übertragen werden. Ein anderer Kritikpunkt ist der Moderator, der durch sein manipulatives Verhalten Einfluss auf die Entscheidung des Kandidaten haben kann.

Geöffnet oder geschossen?

Der Streit zwischen den Skeptikern und „Normalos“ erstreckt sich bereits über Jahrzehnte und scheint unauflösbar zu sein. Doch folgendes Verfahren könnte diesen Streit endlich beenden.

Vorbemerkung:
Die drei Türen sind in zwei Gruppen aufgeteilt. Natürlich sind sie nicht nötig, helfen jedoch bei der Visualisierung und Nachverfolgung der einzelnen Schritte. Die Grafik ist eine idealisierte Darstellung und nur sinnvoll, wenn der Kandidat Tür 1 oder 3 wählt. In diesem Beispiel ist es Tür 1.
 
1. Schritt: Der Kandidat wählt Tür 1. Alle Türen sind noch verschlossen:

 
2. Schritt: Der Quizmaster öffnet Tür 2. Die Situation sieht nun so aus:

 
3. Schritt: Bevor der Quizmaster als Nächstes den Kandidaten fragt, ob er nicht lieber Tür 3 nimmt, stell dir nun Folgendes vor:

Anstatt Tür 2 zu öffnen, sagt er zum Kandidaten: „Wenn sie Tür 1 nicht nehmen, gebe ich Ihnen Tür 2 und 3 im ungeöffneten Zustand. Sie dürfen dann beide Türen öffnen.“

Das ist dasselbe, als würde er sagen: „Wenn sie Tür 1 nicht nehmen, gebe ich Ihnen Tür 2 UND die bereits geöffnete Tür 3.“


Das wiederum ist identisch mit dem einfachen Tausch von Tür 1 gegen Tür 3.

Verstanden?

Dass der Gewinn eher in Gruppe B als in Gruppe A zu erwarten ist, ist jedem sofort klar. Zwei Chancen sind halt besser als eine. Was wahrscheinlich nicht jedem sofort einleuchtet: Eigentlich ist es egal, dass der Quizmaster eine Tür öffnet! Wenn er Tür 2 und 3 gemeinsam im geschlossenen Zustand zum Tauschen anbietet, ist es dasselbe, als würde er eine geöffnete und eine geschlossene anbieten. Denn ob der Kandidat eine Tür aus Gruppe B öffnet und der Quizmaster die andere, oder der Kandidat beide, ist egal.

Der Kandidat erhält keine neuen Informationen, wenn der Quizmaster Tür 2 öffnet, denn er wusste vorher schon, dass entweder Tür 2 oder Tür 3 eine Niete sein muss.

Geschlossenen heißt geöffnet

Dass eigentlich keine Tür geöffnet werden muss, um dem Kandidaten einen Entscheidungsanreiz zu bieten, ist eine interessante Beobachtung. Denn ob er »eine verschlossene und eine geöffnete« oder »zwei verschlossene« Türen wählt, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Im ersten Fall öffnet der Quizmaster Tür 2 und der Kandidat Tür 3. Im zweiten Fall öffnet der Kandidat beide Türen. Einen anderen Unterschied gibt es nicht. Denn es ist klar, dass zumindest hinter einer der beiden nicht gewählten Türen kein Gewinn sein kann. Und wenn der Quizmaster eine davon öffnet, dann selbstverständlich nicht die, hinter der sich der Gewinn befindet. Das heißt: Auch wenn keine Tür geöffnet ist, kann trotzdem eine davon als geöffnet betrachtet werden – welche ist egal (selbst wenn es die ist, hinter der sich der Gewinn verbirgt). Das „Türöffnen“ kann man daher als symbolischen Akt betrachten. Er tut nichts zur Sache.

Dieses »Tür-Öffnen« scheint daher so etwas wie ein Ablenkungsmanöver zu sein, wie bei Zauberkünstlern oder Illusionisten. Es verwirrt tatsächlich etwas, weil man überlegt ob und inwieweit es relevant ist und man wechseln sollte oder nicht. Da kann man schon durcheinanderkommen. Wenn alle Türen jedoch verschlossen bleiben, gibt es solche Überlegungen nicht.