Das Ziegenproblem


Ein eigentlich einfaches Problem

Der Kan­di­dat wählt Tor 1, dann sag­te der Show­mas­ter: „Wenn Sie nicht Tor 1 neh­men, gebe ich ihnen Tor 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öff­nen.”

Vie­le ken­nen es bereits, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem: In der Fern­seh­show Let´s make a deal/Geh‘ aufs Gan­ze muss ein Kan­di­dat eine von 3 Türen wäh­len, hin­ter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öff­net der Show­mas­ter eine der bei­den ande­ren Türen und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder nicht lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der Kan­di­dat kann sich jetzt fol­gen­de Fra­gen stel­len:

Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
Ist es bes­ser zu wech­seln?
Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 ste­hen?

Die meis­ten aller Men­schen sind der Mei­nung, es ist bes­ser zu wech­seln. Doch eini­ge Skep­ti­ker sagen, dass es egal ist, also fif­ty-fif­ty, oder der Wech­sel sogar zum Nach­teil sein könn­te, denn man weiß nie, ob der Show­mas­ter auch wirk­lich unpar­tei­isch ist und die Kan­di­da­tin nicht in eine Fal­le lockt oder Ähn­li­ches mehr.

Nach­ste­hen­de Erläu­te­run­gen soll­ten jedoch auch den letz­ten Skep­ti­ker davon über­zeu­gen, dass es bes­ser ist zu wech­seln. Tei­len wir die Tore in Grup­pen auf, kön­nen wir das sogar “sehen”.

Die Gruppenaufteilung

Nach­dem der Kan­di­dat Tor 1 gewählt hat, tei­len wir die Tore in 2 Grup­pen auf. Grup­pe A besteht aus dem gewähl­ten Tor, Grup­pe B aus den nicht gewähl­ten.

Wür­de der Kan­di­dat jetzt zu Grup­pe B wech­seln, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len, was sei­ne Chan­ce auf den Gewinn von 2/3 auf 1/3 hal­biert. Öff­net der Show­mas­ter zuvor jedoch ein Tor in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, doch die Gewinn­wahr­schein­lich­keit bleibt gleich. Die Gewinn­wahr­schein­lich­kei­ten für die Grup­pen wur­den zu Anfang des Spiels fest­ge­legt, und kön­nen sich durch das Öff­nen eines Tores nicht öff­nen.

Zwei Tore im Tausch gegen eins

Öff­net der Mode­ra­tor eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer ver­schlos­se­nen Tür, obwohl ihr Wahr­schein­lich­keits­wert zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Mode­ra­tor bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von denen eine bereits geöff­net ist.

Noch deut­li­cher: Es wäre auch dann das­sel­be, wenn der Show­mas­ter kei­ne Tür in Grup­pe B öff­net und dem Kan­di­da­ten statt­des­sen Tür 2 UND 3 im Tausch gegen Tür 1 anbie­tet, der dann bei­de öff­nen darf. Denn ob der Show­mas­ter das eine Tor öff­net und der Kan­di­dat das ande­re oder der Kan­di­dat bei­de, ist völ­lig egal.

Die tabellarische Betrachtung

Im Durch­schnitt wird jede Kandidatin/jeder Kan­di­dat bei jedem 3. Spiel das rich­ti­ge Tor wäh­len.

Die­se Gegen­über­stel­lung macht deut­lich: Aus sta­tis­ti­scher Sicht ist es immer vor­teil­haft, zu wech­seln: Zwei­mal pro drei Spie­le wählt der Kan­di­dat eine Zie­ge, doch er wech­selt und bekommt das Auto. Doch nur ein­mal pro drei Spie­le bekommt er das Auto, wenn er nicht wech­selt.

Kein mathematisches Rätsel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art asso­zia­ti­ve Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung. Im Grun­de genom­men ist es ziem­lich banal. Wir las­sen uns durch das Öff­nen der 2. Tür irri­tie­ren, denn wir den­ken dann, jetzt etwas zu wis­sen, das wir zuvor nicht wuss­ten — was genau genom­men nicht stimmt. Wir wis­sen jetzt zwar, dass sich hin­ter Tür 2 eine Zie­ge ver­birgt, doch genau betrach­tet wuss­ten wir das vor­her auch schon:

Wir wuss­ten, dass ent­we­der Tür 2 oder Tür 3 eine Zie­ge ent­hält. Wel­che Tür das ist, kann uns jedoch egal sein, denn eine von bei­den muss es ja sein. Wir wuss­ten nur nicht wel­che. Jetzt wis­sen wir, es ist die zwei­te, doch die­se Infor­ma­ti­on hilft uns nicht wei­ter. Hät­te der Show­mas­ter Tür 3 geöff­net, wäre die Situa­ti­on die glei­che. Denn ob wir wis­sen, dass Tür 2 eine Zie­ge ent­hält oder ob wir wis­sen, dass Tür 3 eine Zie­ge ent­hält, ist gleich­wer­tig. In die­ser Pha­se des Spiels sind Tür 2 und 3 näm­lich mit­ein­an­der aus­tausch­bar.

Wenn der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der Türen auf zwei redu­ziert, den­ken wir also, die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ver­blei­ben­den zwei Türen wür­den sich neu ver­tei­len. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 —  den­ken wir.
Das ist ein Trug­schluss. Unse­re Schluss­fol­ge­rung wäre nur dann rich­tig, wenn der Kan­di­dat NICHT zuvor eine Tür gewählt hät­te. Ver­stan­den?

Sterben und erben

  1. Sze­na­rio:
    Wür­de der Mode­ra­tor Tor 2 öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten ein Tor wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tor 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch:
    Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt (zusam­men also 100 %), wird ein Ver­lie­rer-Tor geöff­net und als Wahl­mög­lich­keit aus­ge­schlos­sen. Der Gewinn ver­birgt sich also hin­ter eins der bei­den ande­ren Tore. Die­se besit­zen zusam­men jetzt 100 % Gewinn­wahr­schein­lich­keit. Jedes Tor bekommt 50 Pro­zent.
  1. Sze­na­rio:
    Doch wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, bevor der Show­mas­ter Tor 2 öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re: In Grup­pe A, hin­ter Tor 1, könn­te sich nach wie vor der Gewinn befin­den. Im 1. Sze­na­rio ist jedoch klar, dass das von Show­mas­ter eli­mi­nier­te Tor keins der poten­zi­el­len Gewin­ner­to­re mehr ist.

    Die Wahr­schein­lich­keit, dass sich das Auto in Grup­pe B befin­det, ist — wie wir wis­sen — 2 x 1/3. Wird Tor 2 in die­ser Grup­pe jetzt eli­mi­niert, exis­tiert es zwar als Wahl­mög­lich­keit nicht mehr, sein Wahr­schein­lich­keits­wert ver­schwin­det jedoch nicht im Nir­va­na — er ver­bleibt in Grup­pe B. Tor 3 erbt dann den Wahr­schein­lich­keits­an­teil (1 x 1/3) des ver­stor­be­nen zwei­ten Tores.

    Tor 3 ist nun der allei­ni­ge Trä­ger des Wahr­schein­lich­keits­wer­tes der Grup­pe B. Die­ser beträgt nach wie vor 2/3 Pro­zent. Wenn wir wech­seln, bekom­men wir 2/3 Wahr­schein­lich­keit im Tausch gegen 1/3.

Der manipulative Showmaster

Oben ste­hen­de Beob­ach­tun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter immer eine Tür öff­net und den Kan­di­da­ten selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und den Kan­di­da­ten oder die Kan­di­da­tin nicht sug­ges­tiv beein­flusst.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch — absicht­lich oder unbe­wusst. Es ist inter­es­sant, dass auch dann der Wech­sel zum ande­ren Tor aus sta­tis­ti­scher Sicht die Gewinn­wahr­schein­lich­keit ver­dop­pelt.

Der konfuse Kandidat

Wenn der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten mani­pu­liert, bedeu­tet das nicht unbe­dingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kandidaten/der Kan­di­tin kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen oder Tipps geben. Sie müs­sen sehr sub­til sein. Nie­mand darf es mit­krie­gen und auch nur den Ver­dacht haben, dort könn­te etwas nicht mit rech­ten Din­gen zuge­hen. Trotz­dem müs­sen die Signa­le gut ver­ständ­lich sein — andern­falls ver­lie­ren sie ihre Wir­kung.

Der Kan­di­dat wird die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe) des Show­mas­ters wahr­schein­lich nicht immer erken­nen. Oder er wird die sub­ti­len Hin­wei­se falsch inter­pre­tie­ren. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps, denn ich einer Welt, in der der Show­mas­ter kor­rupt ist, wird auch das vor­kom­men. Das alles kann zum Vor­teil oder Nach­teil der Kan­di­da­tin sein.

Alles zusam­men betrach­tet, wer­den die unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss haben.

Der faule Showmaster

Eine wei­te­re Theo­rie ist der „fau­le“ Show­mas­ter, der bevor­zugt das Tor öff­net, das ihm am nächs­ten ist. Davon lässt sich ablei­ten: Öff­net er das Tor, das etwas wei­ter ent­fernt ist, könn­te das bedeu­ten, das Auto steckt hin­ter dem Tor, das ihm etwas näher ist. Denn ist das Auto hin­ter keins von bei­den, hät­te er kei­nen Grund den wei­te­ren Weg zu gehen und wür­de das näher­lie­gen­de Tor öff­nen.

Die­se Theo­rie lässt sich jedoch ganz ein­fach wider­le­gen: Wür­de sie stim­men, hät­te das schon längst jemand bemerkt, denn am Ende des Spiels sind alle Tore geöff­net. Irgend­wann hät­te jemand Fol­gen­des beob­ach­tet: Wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, und das Auto auch hin­ter Tor 1 ist, der Show­mas­ter auf der rech­ten Sei­te steht, öff­net er bevor­zugt Tor 3. Oder: wählt der Kan­di­dat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öff­net der Show­mas­ter bevor­zugt Tor 2 usw.


Schreibe einen Kommentar