Kein Problem und keine Mathematik
Der Showmaster sagt zum Kandidaten: Wenn Sie nicht Tür 1 nehmen, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dürfen dann beide öffnen.
Viele kennen es schon, das sogenannte Ziegenproblem: In der Fernsehshow Let´s make a deal/Geh‘ aufs Ganze muss ein Kandidat eine von 3 Türen wählen, hinter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öffnet der Showmaster eine der beiden anderen Türen, hinter der sich eine Niete befindet, und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt oder stattdessen nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Der Kandidat kann sich jetzt fragen:
- Soll ich bei meiner Wahl bleiben?
- Ist es besser zu wechseln?
- Oder ist es egal, weil die Chancen 50:50 stehen?
Der Einspruch der Skeptiker
Die meisten Menschen sind der Meinung, es ist besser zu wechseln. Doch Skeptiker sagen:
Es ist egal, also fifty-fifty, oder sogar von Nachteil, denn man könne nie wissen, welche Strategie der Spielleiter hat, ob er parteiisch oder unparteiisch ist. Theoretisch könnte er manipulativ sein, und diesen Faktor dürfe man nicht ignorieren.
Doch welchen Spielraum könnte der Showmaster haben, der es ihm erlaubt, eine “Strategie” anzuwenden? Schließlich öffnet er bekanntlich immer eine Tür mit einer Ziege. Es ist also nicht so, dass er dem einen Kandidaten den Tausch anbietet und einem anderen nicht. In diesem Fall wäre die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit (vermute ich) tatsächlich immer 50:50.
Alles, was der Showmaster tun könnte, wäre, die Kandidaten unterschiedlich stark zum Wechsel zu drängen. Eine Kandidatin, die das richtige Tor bereits gewählt hat und dem Showmaster sympathisch ist, wird er wahrscheinlich nicht wiederholt fragen: “Wollen sie nicht doch lieber zum anderen Tor wechseln?” Bei einem ihm unsympathischen Kandidaten tut er das vielleicht doch.
Und selbst wenn er unparteiisch ist (oder zumindest versucht, es zu sein), könnte er unbewusst Signale aussenden, die den Kandidaten/die Kandidatin beeinflussen.
Doch würde der Spielleiter die Kandidaten tatsächlich in ihren Entscheidungen beeinflussen, hätte das schon längst jemand bemerkt. Warum, erkläre ich am Ende dieser Seite.
Visualisierung statt Mathematik
- Die Gruppenaufteilung
- Die Losmethode
- Die tabellarische Betrachtung.
Diese 3 Darstellungsweisen visualisieren auf unterschiedlichen Wegen die Aufgabenstellung des Ziegenproblems und machen es möglich zu sehen, was passiert, wenn der Showmaster eine Tür öffnet oder der Kandidat wechselt oder bei seiner Wahl bleibt.
Die Gruppenaufteilung
Der Kandidat wählt Tor 1. Dann teilen wir die Tore in Gruppen auf. Aus dem gewählten Tor bilden wir Gruppe A, aus den nicht gewählten Toren bilden wir Gruppe B.
Die wesentliche Beobachtung ist: Würde der Kandidat jetzt zu Gruppe B wechseln, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und 3 zu wählen, öffnet der Showmaster zuvor jedoch ein Tor in dieser Gruppe, fällt dieser zweite Schritt weg, doch die Gewinnwahrscheinlichkeit für Gruppe B bleibt gleich. Denn diese wurde zu Beginn des Spiels festgelegt und kann sich deshalb unmöglich ändern (so als würden die Karten neu gemischt werden) — egal ob irgendwelche Tore geöffnet werden oder nicht.
Tor 3 erbt dann den Wahrscheinlichkeitswert des verstorbenen zweiten Tors und ist jetzt der alleinige Wahrscheinlichkeitsträger in Gruppe B.
Gruppetausch
Öffnet der Moderator eine Tür, besteht Gruppe B nur noch aus einer wählbaren Tür, obwohl ihr Wahrscheinlichkeitswert zwei repräsentiert. Wenn man will, kann man es auch so sehen: Der Moderator bietet dem Kandidaten zwei Türen an, von denen eine bereits geöffnet ist.
Noch deutlicher zeigt es dieses Szenario: Die Kandidatin wählt Tür 1, der Showmaster öffnet jedoch nicht Tür 2 und sagte stattdessen: „Wenn Sie nicht Tür 1 nehmen, gebe ich ihnen Tür 2 und 3. Sie dürfen dann beide öffnen.“
Denn ob der Showmaster Tür 2 öffnet und die Kandidatin Tür 3 oder der Showmaster keine und die Kandidatin stattdessen beide, ist völlig egal.
Öffnet der Spielleiter eine Tür mit einer Niete, entfernt er sozusagen im Auftrag der Kandidatin eine Tür in Gruppe B, bevor sie dann selbst die andere öffnet.
Wenn der Kandidat wechselt, wechselt er nicht die Tür, sondern die Gruppe.
Die Los-Methode
Statt der 3 Türen, die im Laufe des Spiels geöffnet werden, haben wir 2 Schalen und 3 Lose. Der Spielaufbau und ‑ablauf ist zwar anders als der mit den Türen, Ziegen und dem Auto. Es wird auch nur 1 Mal gewählt. In seinem Kern ist es jedoch dasselbe Spiel.
Die erste Schale repräsentiert Tor 1, die zweite Tor 2 und 3. In der ersten befindet sich 1 Los und in der anderen sind es 2. Eins der 3 Lose ist der Gewinn, die anderen beiden sind Nieten. Die Lose haben unterschiedliche Nummern und der Showmaster weiß, welche Losnummer gewinnt. Jedoch nicht er hat sie in die Schalen gelegt, sondern jemand, der nicht wusste, welches Los gewinnt.
Ich denke, jedem ist klar, dass das Gewinnlos eher in der zweiten Schale zu finden ist. Da wir jedoch nur ein Los ziehen dürfen, hilft uns dieses Wissen nicht weiter.
Doch jetzt nimmt der Showmaster ein Los aus der zweiten Schale heraus, faltet es auseinander und legt es in die Schale zurück. Es ist eine Niete. Dann fordert er den Kandidaten auf, eine Schale zu wählen.
Diese Variante des Spiels macht deutlich, warum der Wechsel zur zweiten Tür die Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppelt: Weil das eine Los in Schale 2 eine Niete ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere keine Niete ist, höher.
Nimmt die Kandidatin die zweite Schale, bekommt sie zwei Lose. Eine Niete hat der Spielleiter für sie bereits geöffnet. Folgende “Merksätze” sind in ihrer Bedeutung identisch:
- Wenn wir die zweite Schale nehmen, bekommen wir zwei Lose im Wert von einem.
- Wenn wir Gruppe B wählen, bekommen wir zwei Türen statt nur einer.
- Wenn wir zur 3. Tür wechseln, bekommen wir eine Tür, die bereits ein Fifty-Fifty-Auswahlverfahren überstanden hat. Das verdoppelt ihre Chance.
Die tabellarische Betrachtung
Die Tabellarische Aufstellung macht es ebenfalls deutlich. Wir wissen, im Durchschnitt wird auf lange Sicht jede Kandidatin/jeder Kandidat bei jedem 3. Spiel an Anfang gleich das richtige Tor erwischen. Davon lässt sein ableiten:
Aus statistischer Sicht ist es also immer vorteilhaft, zu wechseln: Zweimal pro drei Spiele wählt der Kandidat eine Ziege, doch er wechselt und bekommt das Auto. Doch nur einmal pro drei Spiele bekommt er das Auto, wenn er nicht wechselt.
Kein mathematisches Rätsel
Ich betrachte das Ziegenproblem deshalb nicht als mathematisches Rätsel, sondern eher als eine Art assoziative Täuschung, im Sinn einer optischen Täuschung. Im Grunde genommen ist es einfach, doch das Öffnen der 2. Tür verwirrt uns, ohne dass wir es merken. Es ist wie bei einem Magier, der mit überflüssigen Bewegungen und allerlei Schnickschnack unserer Aufmerksamkeit ablenkt.
Öffnet der Showmaster eine Tür, glauben wir, jetzt etwas zu wissen, das wir zuvor nicht wussten. Doch das stimmt nicht!
Wir wissen jetzt zwar, dass sich hinter Tür 2 eine Ziege verbirgt, doch indirekt wussten wir das vorher auch schon: Wir wussten, dass entweder Tür 2 oder 3 eine Ziegentür ist. Wir wussten nur nicht welche. Jetzt wissen wir zwar, dass es die zweite ist, doch diese Information ist in Wirklichkeit nichts Neues. Denn:
Tür 2 = Tür 3, Tür 3 = Tür 2
Ob wir wissen, dass Tür 2 mit Sicherheit das Auto nicht enthält, oder ob wir dasselbe von Tür 3 wissen, ist egal. Eine von beiden musste es sein — welche es letztendlich ist, ist unwichtig, denn in dieser Phase des Spiels sind Tür 2 und 3 miteinander austauschbar, bzw. identisch — sie fungieren zu diesem Zeitpunkt lediglich als Platzhalter für die aufgedeckte Ziege in Gruppe B.
Doch weil der Moderator eine Tür öffnet und somit die Anzahl der wählbaren Türen auf zwei reduziert, lassen wir uns irritieren. Wir werden auf eine falsche Fährte gebracht und denken, die Wahrscheinlichkeiten für die verbleibenden Türen würden sich jetzt neu berechnen. Vorher hatten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 — denken wir. Das würde nur dann stimmen, wenn der Kandidat NICHT zuvor eine Tür gewählt hätte. Verstanden?
Sterben und vererben
- Szenario:
Würde der Moderator Tor 2 öffnen, bevor der Kandidaten ein Tor wählt, wären die Wahrscheinlichkeiten für Tor 1 und 3 tatsächlich gleich hoch:
Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit besitzt (zusammen also 100 %), wird ein Verlierer-Tor geöffnet und als Wahlmöglichkeit ausgeschlossen. Es gibt jetzt nur noch zwei Tore. Diese besitzen zusammen jetzt die 100 %. Jedes Tor bekommt die Hälfte.
- Szenario:
Doch wenn der Kandidat Tor 1 wählt, bevor der Showmaster Tor 2 öffnet, ist die Situation eine andere. Denn in Gruppe A, hinter dem abgetrennten ersten Tor, könnte sich immer noch der Gewinn befinden. Im 1. Szenario ist das nicht so. Dort ist das vom Showmaster abgetrennte Tor keins der potenziellen Gewinnertore mehr. Im 2. Szenario haben wir nach wie vor drei Tore im Rennen.
Wenn wir denken, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit durch den Wechsel zum anderen Tor nicht verdoppelt, verwechseln wir das 2. Szenario mit dem 1.
Der manipulative Showmaster
Oben stehende Beobachtungen und Überlegungen gehen davon aus, dass der Showmaster natürlich immer eine Tür öffnet (andernfalls hätte die Aufgabenstellung keinen Sinn) und den Kandidaten selbstverständlich nicht manipuliert, also vollkommen neutral ist und den Kandidaten oder die Kandidatin nicht suggestiv beeinflusst.
Doch nehmen wir einmal an, er tut es doch — absichtlich oder unbewusst. Es ist interessant, dass auch dann der Wechsel zum anderen Tor aus statistischer Sicht die Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppelt.
Der konfuse Kandidat
Wenn der Showmaster den Kandidaten manipuliert, bedeutet das nicht unbedingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließlich darf er dem Kandidaten/der Kandidatin keine offensichtlichen Zeichen geben. Das würde schnell jemand mitkriegen und deshalb müsste er sehr subtil vorgehen. Trotzdem müssen die Signale gut verständlich sein — andernfalls verlieren sie ihre Wirkung.
Manipuliert der Spielleiter den Kandidaten, wird dieser die Hilfe (oder scheinbare Hilfe, die ins Verderben führt) deshalb nicht immer bemerken. Oder er wird die subtilen Hinweise falsch interpretieren und das Gegenteil tun. Und manchmal wird er nur denken, der Showmaster gibt ihm heimliche Tipps und sich dann anders entscheiden, denn in einer Welt, in der der Showmaster korrupt ist, wird auch das vorkommen. Das alles kann zum Vorteil oder Nachteil der Kandidatin sein.
Niemand der Zuschauer dürfte auch nur den geringsten Verdacht haben, dort könnte etwas nicht mit rechten Dingen zugehen. Auf lange Sicht geht so etwas jedoch nie gut. Mit Sicherheit hätten bereits in den 1960er und 1970er-Jahren aufmerksame Zuschauer das bemerkt und es wäre öffentlich bekannt geworden.
Alles zusammen betrachtet werden die unterschiedlichen Szenarien sich gegeneinander aufheben und auf die Gewinnwahrscheinlichkeit keinen signifikanten Einfluss haben.
Der faule Showmaster
Eine weitere Theorie ist der „faule“ Showmaster, der (vielleicht unbewusst) bevorzugt das Tor öffnet, das ihm am nächsten ist. Davon lässt sich ableiten: Öffnet er das etwas weiter entfernte Tor, steckt das Auto hinter dem näheren. Denn ist das Auto hinter keins von beiden, hätte er keinen Grund den weiteren Weg zu gehen und würde das näherliegende Tor öffnen.
Doch auch das hätten aufmerksame Zuschauer schon längst bemerkt, denn am Ende des Spiels sind alle Tore geöffnet. Früher oder später wäre jemandem Folgendes aufgefallen: Wählt der Kandidat Tor 1, und das Auto steckt auch dahinter, öffnet der Showmaster, wenn er auf der rechten Seite steht, bevorzugt Tor 3. Oder: Wählt der Kandidat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öffnet der Showmaster bevorzugt Tor 2 usw.
Einfacher so erklärt:
Wenn ich einThor (“Wer Thor ohne h schreibt, ist ein Tor, Schopenhauer) gewählt habe, so sitze ich mit 2/3 auf einer Ziege. Wenn der Showmaster mir nun eine Ziege eliminiert, ist das Thor, das noch übrig bleibt, statistisch besser, weil es nur zu einem Drittel auf einer Ziege sitzt. Also wechseln.