Das Ziegenproblem

Kein Problem und keine Mathematik

Wenn der Show­mas­ter dem Kan­di­da­ten anbie­tet, sein gewähl­tes Tor gegen ein ande­res ein­zu­tau­schen, bie­tet er in Wirk­lich­keit zwei Tore zum Tausch an, von denen eins bereits geöff­net ist.

Vie­le ken­nen es schon, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem: In der Fern­seh­show Let´s make a deal/Geh‘ aufs Gan­ze muss ein Kan­di­dat eine von 3 Türen wäh­len, hin­ter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öff­net der Show­mas­ter immer eine der bei­den ande­ren Türen, hin­ter der sich der Gewinn nicht befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder nicht lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der Kan­di­dat kann sich jetzt fol­gen­de Fra­gen stel­len:

Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
Ist es bes­ser zu wech­seln?
Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 ste­hen?

Der Einspruch der Skeptiker

Die meis­ten Men­schen sind der Mei­nung, es ist bes­ser zu wech­seln. Doch Skep­ti­ker sagen, dass es egal ist, also fif­ty-fif­ty, oder der Wech­sel sogar zum Nach­teil sein könn­te, denn man könn­te nicht wis­sen, ob der Show­mas­ter auch wirk­lich immer unpar­tei­isch ist und die Kandidatin/den Kan­di­da­ten nicht in eine Fal­le lockt. Selbst wenn er ver­sucht unpar­tei­isch zu sein, könn­te er trotz­dem unbe­wusst Signa­le aus­sen­den, die den Kan­di­da­ten bei sei­ner Wahl beein­flusst.

Nach­ste­hen­de Beob­ach­tun­gen und Über­le­gun­gen machen jedoch deut­lich, dass es aus sta­tis­ti­scher Sicht immer bes­ser ist, zu wech­seln. Am Ende die­ser Sei­te zei­ge ich außer­dem auf, dass selbst ein par­tei­ischer Show­mas­ter letzt­end­lich kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss auf das Ergeb­nis hat.

Die Gruppenaufteilung

Der Kan­di­dat wählt Tor 1. Grup­pe A besteht aus dem gewähl­ten Tor, Grup­pe B aus den nicht gewähl­ten. Bei die­ser Auf­tei­lung han­delt es sich ledig­lich um eine Visua­li­sie­rung des Zie­gen­pro­blems. Sie hilft uns die Auf­ga­ben­stel­lung in ihrem Ver­lauf bes­ser im Auge behal­ten zu kön­nen. Der Kan­di­dat wäh­len im zwei­ten Schritt kein Tor mehr, son­dern eine Grup­pe.

Die wesent­li­che Beob­ach­tung ist: Wür­de der Kan­di­dat jetzt bereits zu Grup­pe B wech­seln, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len, was sei­ne Chan­ce auf den Gewinn von 2/3 wie­der auf 1/3 hal­biert. Dann könn­te er auch bei Tor 1 blei­ben.

Öff­net der Show­mas­ter jedoch ein Tor in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, doch die Wahr­schein­lich­kei­ten für die Grup­pen blei­ben gleich. Denn die­se wur­den zu Beginn des Spiels fest­ge­legt und kön­nen sich des­halb unmög­lich ändern — egal ob irgend­wel­che Tore geöff­net wer­den oder nicht.

Zwei Tore im Tausch gegen eins

Öff­net der Mode­ra­tor eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer wähl­ba­ren Tür, obwohl ihr Wahr­schein­lich­keits­wert zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man es auch so sehen: Der Mode­ra­tor bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von denen eine bereits geöff­net ist.

Noch deut­li­cher zeigt es die­ses Sze­na­rio: Der Kan­di­dat wählt Tür 1, der Show­mas­ter öff­net jedoch nicht Tür 2 und sag­te statt­des­sen: „Wenn Sie nicht Tür 1 neh­men, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öff­nen.“

Auch wenn es auf den ers­ten Blick nicht erkenn­bar ist: Das ist gleich­be­deu­tend mit dem ursprüng­li­chen Sze­na­rio! Denk dar­über nach. Denn ob der Show­mas­ter Tür 2 und der Kan­di­dat Tür 3 öff­net, oder der Kan­di­dat bei­de, ist völ­lig egal. Das ist der Knack­punkt, der ver­stan­den wer­den muss.

Wem das immer noch nicht über­zeugt, hilft viel­leicht fol­gen­de Metho­de:

Die Los-Methode

Der Spiel­auf­bau und Ablauf ist zwar anders als der mit den Türen, Zie­gen und dem Auto. Es wird auch nur 1 Mal gewählt. In sei­nem Kern ist es jedoch das­sel­be Spiel — auch wenn es auf den ers­ten Blick nicht so schei­nen mag:

Statt der 3 Türen, die im Lau­fe des Spiels geöff­net wer­den, haben wir 2 Scha­len und 3 Lose. In der ers­ten Scha­le befin­det sich 1 Los und in der ande­ren sind es 2. Eins der 3 Lose ist der Gewinn, die ande­ren bei­den sind Nie­ten. Die Lose haben unter­schied­li­che Num­mern und der Show­mas­ter weiß natür­lich wel­che Los­num­mer gewinnt. Die Lose hat jedoch nicht er in die Scha­len gelegt, son­dern jemand ande­res, der nicht wuss­te, wel­ches Los gewinnt.

Ich den­ke, jedem ist klar, dass das Gewinn­los eher in der zwei­ten Scha­le zu fin­den ist. Da der Kan­di­dat aber nur ein Los zie­hen darf, hilft ihm das nicht.

Doch jetzt ent­fernt der Show­mas­ter eine Nie­te aus der zwei­ten Scha­le, sodass sich in bei­den Scha­len nur 1 Los befin­det:

Anschlie­ßend for­dert er den Kan­di­da­ten auf, eins der bei­den Lose bzw. Scha­len zu wäh­len. Wählt er die zwei­te Scha­le, bekommt er im Prin­zip zwei Lose, von denen eine Nie­te bereits aus­sor­tiert wur­de. Das ver­dop­pelt sei­ne Chan­ce auf den Gewinn.

Die tabellarische Betrachtung

Die Tabel­la­ri­sche Auf­stel­lung macht es eben­falls deut­lich. Wir wis­sen, im Durch­schnitt wird auf lan­ge Sicht jede Kandidatin/jeder Kan­di­dat bei jedem 3. Spiel an Anfang gleich das rich­ti­ge Tor erwi­schen. Davon lässt sein ablei­ten:

Aus sta­tis­ti­scher Sicht ist es also immer vor­teil­haft, zu wech­seln: Zwei­mal pro drei Spie­le wählt der Kan­di­dat eine Zie­ge, doch er wech­selt und bekommt das Auto. Doch nur ein­mal pro drei Spie­le bekommt er das Auto, wenn er nicht wech­selt.

Kein mathematisches Rätsel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art asso­zia­ti­ve Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung. Im Grun­de genom­men ist es näm­lich sehr ein­fach, doch das Öff­nen der 2. Tür ver­wirrt uns, ohne dass wir es mer­ken. Es ist wie bei einem Magi­er, der mit über­flüs­si­gen Bewe­gun­gen und aller­lei Schnick­schnack unse­rer Auf­merk­sam­keit ablenkt.

Öff­net der Show­mas­ter eine Tür, glau­ben wir, jetzt etwas zu wis­sen, das wir zuvor nicht wuss­ten. Doch das stimmt nicht!

Wir wis­sen jetzt zwar, dass sich hin­ter Tür 2 eine Zie­ge ver­birgt, doch indi­rekt wuss­ten wir das vor­her auch schon: Wir wuss­ten, dass ent­we­der Tür 2 oder 3 eine Zie­ge ent­hält. Wir wuss­ten nur nicht wel­che. Jetzt wis­sen wir zwar, dass es die zwei­te ist, doch die­se Infor­ma­ti­on ist in Wirk­lich­keit nichts Neu­es. Denn:

Tür 2 = Tür 3, Tür 3 = Tür 2

Ob wir wis­sen, dass Tür 2 mit Sicher­heit das Auto nicht ent­hält, oder ob wir das­sel­be von Tür 3 wis­sen, ist egal. Eine von bei­den muss­te es sein — wel­che es ist, kann uns egal sein, denn in die­ser Pha­se des Spiels sind Tür 2 und 3 mit­ein­an­der aus­tausch­bar — sie fun­gie­ren zu die­sem Zeit­punkt als eine Art Platz­hal­ter für eine Zie­ge in Grup­pe B.

Doch weil der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der Türen auf zwei redu­ziert, las­sen wir uns irri­tie­ren. Wir wer­den auf eine fal­sche Fähr­te gebracht und den­ken, die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ver­blei­ben­den Türen wür­den sich jetzt neu berech­nen. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 —  den­ken wir.

Das wür­de nur stim­men, wenn der Kan­di­dat NICHT zuvor eine Tür gewählt hät­te. Ver­stan­den?

Sterben und vererben

1. Sze­na­rio:
   Wür­de der Mode­ra­tor Tor 2 öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten ein Tor wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tor 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch:
   Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt (zusam­men also 100 %), wird ein Ver­lie­rer-Tor geöff­net und als Wahl­mög­lich­keit aus­ge­schlos­sen. Der Gewinn ver­birgt sich also hin­ter eins der bei­den ande­ren Tore. Die­se besit­zen zusam­men jetzt 100 % Gewinn­wahr­schein­lich­keit. Jedes Tor bekommt die Hälf­te.

2. Sze­na­rio:
   Doch wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, bevor der Show­mas­ter Tor 2 öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re: In Grup­pe A, hin­ter Tor 1, könn­te sich nach wie vor der Gewinn befin­den. Im 1. Sze­na­rio ist es jedoch so, dass das von Show­mas­ter eli­mi­nier­te Tor keins der poten­zi­el­len Gewin­ner­to­re mehr sein kann.
   
   Die Wahr­schein­lich­keit, dass sich das Auto in Grup­pe B befin­det, ist — wie wir wis­sen — 2 x 1/3. Wird Tor 2 in die­ser Grup­pe eli­mi­niert, exis­tiert es zwar als Wahl­mög­lich­keit nicht mehr, sein Wahr­schein­lich­keitsanteil ver­schwin­det jedoch nicht mit ihm — er ver­bleibt in Grup­pe B. Tor 3 erbt dann den Wahr­schein­lich­keits­an­teil des ver­stor­be­nen zwei­ten Tores und ist ab jetzt der allei­ni­ge Trä­ger des Wahr­schein­lich­keits­wer­tes der Grup­pe B.

Der manipulative Showmaster

Oben ste­hen­de Beob­ach­tun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter natür­lich immer eine Tür öff­net (andern­falls hät­te die Auf­ga­ben­stel­lung kei­nen Sinn) und den Kan­di­da­ten selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und den Kan­di­da­ten oder die Kan­di­da­tin nicht sug­ges­tiv beein­flusst.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch — absicht­lich oder unbe­wusst. Es ist inter­es­sant, dass auch dann der Wech­sel zum ande­ren Tor aus sta­tis­ti­scher Sicht die Gewinn­wahr­schein­lich­keit ver­dop­pelt.

Der konfuse Kandidat

Wenn der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten mani­pu­liert, bedeu­tet das nicht unbe­dingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kandidaten/der Kan­di­tin kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen oder Tipps geben. Sie müs­sen sehr sub­til sein. Nie­mand darf es mit­krie­gen oder auch nur den Ver­dacht haben, dort könn­te etwas nicht mit rech­ten Din­gen zuge­hen. Trotz­dem müs­sen die Signa­le gut ver­ständ­lich sein — andern­falls ver­lie­ren sie ihre Wir­kung.

Der Kan­di­dat wird die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe) des Show­mas­ters des­halb nicht immer bemer­ken. Oder er wird die sub­ti­len Hin­wei­se falsch inter­pre­tie­ren. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps, denn in einer Welt, in der der Show­mas­ter kor­rupt ist, wird auch das vor­kom­men. Das alles kann zum Vor­teil oder Nach­teil der Kan­di­da­tin sein.

Alles zusam­men betrach­tet, wer­den die unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss haben.

Der faule Showmaster

Eine wei­te­re Theo­rie ist der „fau­le“ Show­mas­ter, der (viel­leicht unbe­wusst) bevor­zugt das Tor öff­net, das ihm am nächs­ten ist. Davon lässt sich ablei­ten: Öff­net er das etwas wei­ter ent­fern­te Tor, steckt das Auto hin­ter dem nähe­ren. Denn ist das Auto hin­ter keins von bei­den, hät­te er kei­nen Grund den wei­te­ren Weg zu gehen und wür­de das näher­lie­gen­de Tor öff­nen.

Die­se Theo­rie lässt sich jedoch ein­fach wider­le­gen: Wür­de sie stim­men, hät­ten das schon längst eini­ge auf­merk­sa­men Leu­te bemerkt, denn am Ende des Spiels sind schließ­lich alle Tore geöff­net. Frü­her oder spä­ter wäre jeman­dem fol­gen­des auf­ge­fal­len: Wählt der Kan­di­dat Tor 1, und das Auto steckt auch dahin­ter, öff­net der Show­mas­ter, wenn er auf der rech­ten Sei­te steht, bevor­zugt Tor 3. Oder: Wählt der Kan­di­dat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öff­net der Show­mas­ter bevor­zugt Tor 2 usw.