Ein eigentlich einfaches Problem
Viele kennen es bereits, das sogenannte Ziegenproblem. In der Show Let´s make a deal/Geh aufs Ganze wird ein Kandidat aufgefordert, eine von 3 Türen zu wählen, hinter der er sich ein Gewinn erhofft. Danach öffnet der Moderator eine der beiden anderen und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt oder nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Der Kandidat kann sich jetzt folgende Fragen stellen:
Soll ich bei meiner Wahl bleiben?
Ist es besser zu wechseln?
Oder ist es egal, weil die Chancen 50:50 stehen?
Viele verschiedene Lösungswege
Es gibt schriftliche, tabellarische, mathematische und auch grafische Lösungswege. Mathematiker, Wissenschaftler und Spezialisten der ganzen Welt haben sich bereits dazu geäußert. Es wurde sogar Marilyn vos Savant befragt, die als intelligentester Mensch der Welt gilt oder galt. Sie sagt:
Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)
Diese Erklärung ist in der Tat die beste und einfachste von allen. Doch obwohl sie so einleuchtend ist, wird sie von Skeptikern angezweifelt oder sogar abgelehnt. Sie sagen, die Eine-Million-Türen-Methode könnte nicht auf die Drei-Türen-Konstellation übertragen werden. Außerdem hätte der Moderator die Möglichkeit die Entscheidung des Kandidaten suggestiv zu beeinflussen. Doch folgende Methode sollte endgültig klarstellen, dass es besser ist zu wechseln.
Das Gruppenmodell
Nachdem der Kandidat Tor 1 gewählt hat, teilen wir die Tore in 2 Gruppen auf. Gruppe A besteht aus dem gewählten Tor, Gruppe B wird aus den beiden anderen gebildet.
Für jedes einzelne Tor ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Kombiniert man die Werte miteinander und bildet Gruppen, entsteht jedoch eine ungleiche Verteilung:
Würde der Kandidat jetzt zu Gruppe B wechseln, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und 3 zu wählen. Öffnet der Showmaster jedoch zuvor ein Tor in Gruppe B, fällt dieser zweite Schritt weg, doch die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt gleich. Denn warum sollte die Wahrscheinlichkeit für Gruppe B sich ändern, nur weil eins seiner Tore geöffnet wird?
Zwei Tore im Tausch gegen eins
Öffnet der Moderator eine Tür, besteht Gruppe B nur noch aus einer verschlossenen Tür, obwohl sie zwei repräsentiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Moderator bietet dem Kandidaten zwei Türen an, von denen eine bereits geöffnet ist. Das wäre übrigens dasselbe, als würde der Showmaster dem Kandidaten Tor 2 und 3 zum Tausch gegen Tor 1 anbietet und der Kandidat darf dann beide öffnen. Denn ob der Showmaster das eine Tor öffnet und der Kandidat das andere oder der Kandidat beide, ist völlig egal.
Kein mathematisches Rätsel
Ich betrachte das Ziegenproblem nicht als mathematisches Rätsel, sondern eher als eine Art assoziative Täuschung, im Sinn einer optischen Täuschung.
Wenn der Moderator eine Tür öffnet und somit die Anzahl der Türen auf zwei reduziert, denken wir vielleicht, die Wahrscheinlichkeiten für die verbleibenden zwei Türen würden sich neu verteilen. Vorher hatten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 — denken wir. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kandidat NICHT zuvor eine Tür gewählt hätte. Verstanden?
Erst sterben, dann vererben
Würde der Moderator Tür 2 öffnen, bevor der Kandidaten Tür 1 wählt, und somit von der Dreiergruppe abtrennt, wären die Wahrscheinlichkeiten für Tür 1 und 3 tatsächlich gleich hoch. Von drei Türen, von denen jede 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit besitzt (zusammen also 100 %), wird eine Verlierer-Tür geöffnet und als Wahlmöglichkeit ausgeschlossen. Der Gewinn muss also hinter einer der beiden anderen Türen sein. Diese besitzen zusammen 100 % Gewinnwahrscheinlichkeit. Jede Tür bekommt 50 Prozent.
Doch wenn der Kandidat vorher Tür 1 wählt, ist die Situation eine andere: In Gruppe A, hinter Tür 1, könnte sich bereits der Gewinn verbergen. Die Wahrscheinlichkeit, dass er sich in Gruppe B befindet, ist jedoch doppelt so hoch: Da er nicht hinter Tür 2 ist, befindet er sich zu 66,66 % hinter der anderen Tür in Gruppe B, denn das ist der Wert, den Gruppe B besitzt. Tür 2 erbt also den Wahrscheinlichkeitswert der verstorbenen Tür 3.
Wenn wir wechseln, bekommen wir also 2/3 Wahrscheinlichkeit im Tausch gegen 1/3.
Der manipulative Showmaster
Oben stehende Überlegungen gehen davon aus, dass der Showmaster den Kandidaten selbstverständlich nicht manipuliert, also vollkommen neutral ist und dem Kandidaten oder der Kandidatin keine suggestiven, verborgenen oder heimlichen Zeichen gibt.
Doch nehmen wir einmal an, er tut es doch — absichtlich oder unbewusst. Selbst dann bleibt die Regel bestehen, dass der Wechsel zum anderen Tor vorteilhaft ist, denn er verdoppelt die Gewinnwahrscheinlichkeit auch in diesem Fall. Folgende Beobachtungen erklären diese Behauptung:
Wenn der Showmaster versucht, den Kandidaten zu manipulieren (egal in welche Richtung), bedeutet das nicht, dass es ihm auch immer gelingt. Schließlich darf er dem Kandidaten keine offensichtlichen Zeichen oder Tipps geben. Sie müssen sehr subtil sein, denn weder das Publikum noch der Redakteur der Sendung darf das mitkriegen.
Ob der Kandidat die Hilfe (oder scheinbare Hilfe) des Showmaster bemerkt und sie auch annimmt, ist daher nicht vorhersagbar. Manchmal wird er es bemerken und manchmal nicht. Wie er damit umgeht und inwieweit er dieser Hilfe traut, ist auch noch eine andere Frage. Und manchmal wird er nur denken, der Showmaster gibt ihm heimliche Tipps. Zwölf verschiedene Szenarien lassen sich aus diesen Möglichkeiten bilden:
1. Fall: Der Showmaster mag den Kandidaten und möchte das er gewinnt.
Der Kandidat hat das richtige Tor gewählt und der Showmaster gibt ihm heimliche Zeichen, nicht zum anderen Tor wechseln.
1. Der Kandidat interpretiert die Zeichen richtig und er wechselt nicht.
2. Der Kandidat interpretiert die Zeichen falsch und wechselt.
3. Der Kandidat bemerkt die Zeichen nicht und entscheidet nach anderen Kriterien.
Der Kandidat hat das falsche Tor gewählt und der Showmaster gibt ihm heimliche Zeichen, zum anderen Tor zu wechseln.
1. Der Kandidat interpretiert die Zeichen richtig und wechselt.
2. Der Kandidat interpretiert die Zeichen falsch und wechselt nicht.
3. Der Kandidat bemerkt die Zeichen nicht und entscheidet nach anderen Kriterien.
2. Fall: Der Showmaster mag den Kandidaten nicht und möchte deshalb, dass dieser verliert.
Der Kandidat hat das richtige Tor gewählt doch der Showmaster animiert ihn zu wechseln.
1. Der Kandidat fällt auf den Showmaster rein und wechselt.
2. Der Kandidat merkt, dass der Showmaster ihm einen Tipp gibt, versteht ihn aber falsch und wechselt nicht.
3. Der Kandidat bemerkt den Manipulationsversuch nicht und entscheidet nach anderen Kriterien.
Der Kandidat hat das falsche Tor gewählt, doch der Showmaster tut so, als wäre es das richtige.
1. Der Kandidat fällt auf den Showmaster rein und wechselt nicht.
2. Der Kandidat merkt, dass der Showmaster ihm einen Tipp gibt, versteht ihn aber falsch und wechselt.
3. Der Kandidat bemerkt den Manipulationsversuch nicht und entscheidet nach anderen Kriterien.
Manipuliert der Showmaster den Kandidaten, wird es ihm also manchmal gelingen und manchmal nicht. Manchmal werden diese Manipulationsversuche vom Kandidaten bemerkt, aber falsch eingeordnet, und er tut das Gegenteil von dem, wozu der Showmaster ihn animieren wollte.
Statistisch gesehen, werden diese unterschiedlichen Szenarien sich gegeneinander aufheben und haben auf die Gewinnwahrscheinlichkeit keinen Einfluss. Ob mit oder ohne manipulativem Showmaster (den es höchstwahrscheinlich nie gegeben hat), verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit immer von 1/3 auf 2/3.