Ein eigentlich einfaches Problem
Viele kennen es bereits, das sogenannte Ziegenproblem. In der Show Let´s make a deal/Geh aufs Ganze wird ein Kandidat aufgefordert, eine von 3 Türen zu wählen, hinter der er sich ein Gewinn erhofft. Danach öffnet der Moderator eine der beiden anderen und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt oder nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Der Kandidat kann sich jetzt folgende Fragen stellen:
Soll ich bei meiner Wahl bleiben?
Ist es besser zu wechseln?
Oder ist es egal, weil die Chancen 50:50 stehen?
Viele verschiedene Lösungswege
Es gibt schriftliche, tabellarische, mathematische und auch grafische Lösungswege. Mathematiker, Wissenschaftler und Spezialisten der ganzen Welt haben sich bereits dazu geäußert. Es wurde sogar Marilyn vos Savant befragt, die als intelligentester Mensch der Welt gilt oder galt. Sie sagt:
Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)
Diese Erklärung ist in der Tat die beste und einfachste von allen. Doch obwohl sie so einleuchtend ist, wird sie von Skeptikern angezweifelt oder sogar abgelehnt. Sie sagen, die Eine-Million-Türen-Methode könnte nicht auf die Drei-Türen-Konstellation übertragen werden. Außerdem hätte der Moderator die Möglichkeit die Entscheidung des Kandidaten suggestiv zu beeinflussen. Doch folgende Methode sollte endgültig klarstellen, dass es besser ist zu wechseln.
Das Gruppenmodell
Nachdem der Kandidat Tor 1 gewählt hat, teilen wir die Tore in 2 Gruppen auf. Gruppe A besteht aus dem gewählten Tor, Gruppe B wird aus den beiden anderen gebildet.
Für jedes einzelne Tor ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Kombiniert man die Werte miteinander und bildet Gruppen, entsteht jedoch eine ungleiche Verteilung:
Würde der Kandidat jetzt zu Gruppe B wechseln, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und 3 zu wählen. Öffnet der Showmaster jedoch zuvor ein Tor in Gruppe B, fällt dieser zweite Schritt weg, doch die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt gleich. Denn warum sollte die Wahrscheinlichkeit für Gruppe B sich ändern, nur weil eins seiner Tore geöffnet wird?
Zwei Tore im Tausch gegen eins
Öffnet der Moderator eine Tür, besteht Gruppe B nur noch aus einer verschlossenen Tür, obwohl sie zwei repräsentiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Moderator bietet dem Kandidaten zwei Türen an, von der eine bereits geöffnet ist. Das wäre übrigens dasselbe, als würde der Showmaster dem Kandidaten Tor 2 und 3 zum Tausch gegen Tor 1 anbietet und der Kandidat darf dann beide öffnen. Denn ob der Showmaster das eine Tor öffnet und der Kandidat das andere oder der Kandidat beide, ist völlig egal.
Kein mathematisches Rätsel
Ich betrachte das Ziegenproblem deshalb nicht als mathematisches Rätsel, sondern eher als eine Art assoziative Täuschung, im Sinn einer optischen Täuschung.
Wenn der Moderator eine Tür öffnet und somit die Anzahl der Türen auf zwei reduziert, denken wir vielleicht, die Wahrscheinlichkeiten für die verbleibenden zwei Türen würden sich neu verteilen. Vorher hatten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 — denken wir. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kandidat nicht zuvor eine Tür gewählt hätte. Verstanden?
Würde der Moderator Tür 2 öffnen, bevor der Kandidaten Tür 1 wählt, wären die Wahrscheinlichkeiten für Tür 1 und 3 tatsächlich gleich hoch. Der Grund: Von ursprünglich drei gleichwertigen Türen, von denen jeder 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit besitzt, wird eine eliminiert. Die verbleibenden 2 Türen sind dann ebenfalls gleichwertig. Die Wahrscheinlichkeiten verteilen sich neu und jede Tür bekommt 50 Prozent.
Doch wenn der Showmaster Tür 2 öffnet, nachdem der Kandidat Tür 1 wählt und somit separiert, ist die Situation eine andere. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn sich hinter Tür 2 oder 3 versteckt, ist doppelt so hoch wie für Tür 1 allein. Tür 1 und 3 sind deswegen nicht gleichwertig. Sie sind auf verschiedene Wege in die Endwahl gekommen und bringen deshalb auch unterschiedliche Wahrscheinlichkeitswerte mit sich.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung stand bereits zu Beginn des Spiels fest. Sie kann sich durch das Öffnen einer Tür nachträglich nicht ändern, selbst wenn der Showmaster beide Türen in Gruppe B öffnen würde.
Tür 3 in Gruppe B erbt sozusagen 1/3 Wahrscheinlichkeit von der verstorbenen Tür 2. Wenn wir wechseln, bekommen wir also 2/3 Wahrscheinlichkeit im Tausch gegen 1/3.