Ein eigentlich einfaches Problem
Der Kandidat wählt Tor 1, dann sagte der Showmaster: „Wenn Sie nicht Tor 1 nehmen, gebe ich ihnen Tor 2 und 3 dafür. Sie dürfen dann beide öffnen.”
Viele kennen es bereits, das sogenannte Ziegenproblem: In der Fernsehshow Let´s make a deal/Geh‘ aufs Ganze muss ein Kandidat eine von 3 Türen wählen, hinter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öffnet der Showmaster eine der beiden anderen Türen und fragt den Kandidaten, ob er bei seiner Wahl bleibt oder nicht lieber die dritte, noch verschlossene Tür nimmt. Der Kandidat kann sich jetzt folgende Fragen stellen:
Soll ich bei meiner Wahl bleiben?
Ist es besser zu wechseln?
Oder ist es egal, weil die Chancen 50:50 stehen?
Die meisten aller Menschen sind der Meinung, es ist besser zu wechseln. Doch einige Skeptiker sagen, dass es egal ist, also fifty-fifty, oder der Wechsel sogar zum Nachteil sein könnte, denn man weiß nie, ob der Showmaster auch wirklich unparteiisch ist und die Kandidatin nicht in eine Falle lockt oder Ähnliches mehr.
Nachstehende Erläuterungen sollten jedoch auch den letzten Skeptiker davon überzeugen, dass es besser ist zu wechseln. Teilen wir die Tore in Gruppen auf, können wir das sogar “sehen”.
Die Gruppenaufteilung
Nachdem der Kandidat Tor 1 gewählt hat, teilen wir die Tore in 2 Gruppen auf. Gruppe A besteht aus dem gewählten Tor, Gruppe B aus den nicht gewählten.
Würde der Kandidat jetzt zu Gruppe B wechseln, hätte er anschließend noch zwischen Tor 2 und 3 zu wählen, was seine Chance auf den Gewinn von 2/3 auf 1/3 halbiert. Öffnet der Showmaster zuvor jedoch ein Tor in Gruppe B, fällt dieser zweite Schritt weg, doch die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt gleich. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die Gruppen wurden zu Anfang des Spiels festgelegt, und können sich durch das Öffnen eines Tores nicht öffnen.
Zwei Tore im Tausch gegen eins
Öffnet der Moderator eine Tür, besteht Gruppe B nur noch aus einer verschlossenen Tür, obwohl ihr Wahrscheinlichkeitswert zwei repräsentiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Moderator bietet dem Kandidaten zwei Türen an, von denen eine bereits geöffnet ist.
Noch deutlicher: Es wäre auch dann dasselbe, wenn der Showmaster keine Tür in Gruppe B öffnet und dem Kandidaten stattdessen Tür 2 UND 3 im Tausch gegen Tür 1 anbietet, der dann beide öffnen darf. Denn ob der Showmaster das eine Tor öffnet und der Kandidat das andere oder der Kandidat beide, ist völlig egal.
Die tabellarische Betrachtung
Im Durchschnitt wird jede Kandidatin/jeder Kandidat bei jedem 3. Spiel das richtige Tor wählen.
Diese Gegenüberstellung macht deutlich: Aus statistischer Sicht ist es immer vorteilhaft, zu wechseln: Zweimal pro drei Spiele wählt der Kandidat eine Ziege, doch er wechselt und bekommt das Auto. Doch nur einmal pro drei Spiele bekommt er das Auto, wenn er nicht wechselt.
Kein mathematisches Rätsel
Ich betrachte das Ziegenproblem deshalb nicht als mathematisches Rätsel, sondern eher als eine Art assoziative Täuschung, im Sinn einer optischen Täuschung. Im Grunde genommen ist es ziemlich banal. Wir lassen uns durch das Öffnen der 2. Tür irritieren, denn wir denken dann, jetzt etwas zu wissen, das wir zuvor nicht wussten — was genau genommen nicht stimmt. Wir wissen jetzt zwar, dass sich hinter Tür 2 eine Ziege verbirgt, doch genau betrachtet wussten wir das vorher auch schon:
Wir wussten, dass entweder Tür 2 oder Tür 3 eine Ziege enthält. Welche Tür das ist, kann uns jedoch egal sein, denn eine von beiden muss es ja sein. Wir wussten nur nicht welche. Jetzt wissen wir, es ist die zweite, doch diese Information hilft uns nicht weiter. Hätte der Showmaster Tür 3 geöffnet, wäre die Situation die gleiche. Denn ob wir wissen, dass Tür 2 eine Ziege enthält oder ob wir wissen, dass Tür 3 eine Ziege enthält, ist gleichwertig. In dieser Phase des Spiels sind Tür 2 und 3 nämlich miteinander austauschbar.
Wenn der Moderator eine Tür öffnet und somit die Anzahl der Türen auf zwei reduziert, denken wir also, die Wahrscheinlichkeiten für die verbleibenden zwei Türen würden sich neu verteilen. Vorher hatten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 — denken wir.
Das ist ein Trugschluss. Unsere Schlussfolgerung wäre nur dann richtig, wenn der Kandidat NICHT zuvor eine Tür gewählt hätte. Verstanden?
Sterben und erben
- Szenario:
Würde der Moderator Tor 2 öffnen, bevor der Kandidaten ein Tor wählt, wären die Wahrscheinlichkeiten für Tor 1 und 3 tatsächlich gleich hoch:
Von drei Toren, von denen jedes 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit besitzt (zusammen also 100 %), wird ein Verlierer-Tor geöffnet und als Wahlmöglichkeit ausgeschlossen. Der Gewinn verbirgt sich also hinter eins der beiden anderen Tore. Diese besitzen zusammen jetzt 100 % Gewinnwahrscheinlichkeit. Jedes Tor bekommt 50 Prozent.
- Szenario:
Doch wenn der Kandidat Tor 1 wählt, bevor der Showmaster Tor 2 öffnet, ist die Situation eine andere: In Gruppe A, hinter Tor 1, könnte sich nach wie vor der Gewinn befinden. Im 1. Szenario ist jedoch klar, dass das von Showmaster eliminierte Tor keins der potenziellen Gewinnertore mehr ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto in Gruppe B befindet, ist — wie wir wissen — 2 x 1/3. Wird Tor 2 in dieser Gruppe jetzt eliminiert, existiert es zwar als Wahlmöglichkeit nicht mehr, sein Wahrscheinlichkeitswert verschwindet jedoch nicht im Nirvana — er verbleibt in Gruppe B. Tor 3 erbt dann den Wahrscheinlichkeitsanteil (1 x 1/3) des verstorbenen zweiten Tores.
Tor 3 ist nun der alleinige Träger des Wahrscheinlichkeitswertes der Gruppe B. Dieser beträgt nach wie vor 2/3 Prozent. Wenn wir wechseln, bekommen wir 2/3 Wahrscheinlichkeit im Tausch gegen 1/3.
Der manipulative Showmaster
Oben stehende Beobachtungen gehen davon aus, dass der Showmaster immer eine Tür öffnet und den Kandidaten selbstverständlich nicht manipuliert, also vollkommen neutral ist und den Kandidaten oder die Kandidatin nicht suggestiv beeinflusst.
Doch nehmen wir einmal an, er tut es doch — absichtlich oder unbewusst. Es ist interessant, dass auch dann der Wechsel zum anderen Tor aus statistischer Sicht die Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppelt.
Der konfuse Kandidat
Wenn der Showmaster den Kandidaten manipuliert, bedeutet das nicht unbedingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließlich darf er dem Kandidaten/der Kanditin keine offensichtlichen Zeichen oder Tipps geben. Sie müssen sehr subtil sein. Niemand darf es mitkriegen und auch nur den Verdacht haben, dort könnte etwas nicht mit rechten Dingen zugehen. Trotzdem müssen die Signale gut verständlich sein — andernfalls verlieren sie ihre Wirkung.
Der Kandidat wird die Hilfe (oder scheinbare Hilfe) des Showmasters wahrscheinlich nicht immer erkennen. Oder er wird die subtilen Hinweise falsch interpretieren. Und manchmal wird er nur denken, der Showmaster gibt ihm heimliche Tipps, denn ich einer Welt, in der der Showmaster korrupt ist, wird auch das vorkommen. Das alles kann zum Vorteil oder Nachteil der Kandidatin sein.
Alles zusammen betrachtet, werden die unterschiedlichen Szenarien sich gegeneinander aufheben und auf die Gewinnwahrscheinlichkeit keinen signifikanten Einfluss haben.
Der faule Showmaster
Eine weitere Theorie ist der „faule“ Showmaster, der bevorzugt das Tor öffnet, das ihm am nächsten ist. Davon lässt sich ableiten: Öffnet er das Tor, das etwas weiter entfernt ist, könnte das bedeuten, das Auto steckt hinter dem Tor, das ihm etwas näher ist. Denn ist das Auto hinter keins von beiden, hätte er keinen Grund den weiteren Weg zu gehen und würde das näherliegende Tor öffnen.
Diese Theorie lässt sich jedoch ganz einfach widerlegen: Würde sie stimmen, hätte das schon längst jemand bemerkt, denn am Ende des Spiels sind alle Tore geöffnet. Irgendwann hätte jemand Folgendes beobachtet: Wenn der Kandidat Tor 1 wählt, und das Auto auch hinter Tor 1 ist, der Showmaster auf der rechten Seite steht, öffnet er bevorzugt Tor 3. Oder: wählt der Kandidat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öffnet der Showmaster bevorzugt Tor 2 usw.