Das Ziegenproblem


Ein eigentlich einfaches Problem

Vie­le ken­nen es bereits, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem. In der Show Let´s make a deal/Geh aufs Gan­ze wird ein Kan­di­dat auf­ge­for­dert, eine von 3 Türen zu wäh­len, hin­ter der er sich ein Gewinn erhofft. Danach öff­net der Mode­ra­tor eine der bei­den ande­ren und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder nicht lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der Kan­di­dat kann sich jetzt fol­gen­de Fra­gen stel­len:

Soll ich bei mei­ner Wahl blei­ben?
Ist es bes­ser zu wech­seln?
Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 ste­hen?

Viele verschiedene Lösungswege

Es gibt schrift­li­che, tabel­la­ri­sche, mathe­ma­ti­sche und auch gra­fi­sche Lösungs­we­ge. Mathe­ma­ti­ker, Wis­sen­schaft­ler und Spe­zia­lis­ten der gan­zen Welt haben sich bereits dazu geäu­ßert. Es wur­de sogar Mari­lyn vos Savant befragt, die als intel­li­gen­tes­ter Mensch der Welt gilt oder galt. Sie sagt:

Ja, Sie soll­ten wech­seln. Das zuerst gewähl­te Tor hat die Gewinn­chan­ce von 1/3, aber das zwei­te Tor hat eine Gewinn­chan­ce von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Gesche­hen vor­zu­stel­len. Neh­men Sie an, es gäbe 1 Mil­li­on Tore und Sie wäh­len Tor Num­mer 1. Dann öff­net der Mode­ra­tor, der weiß, was hin­ter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer ver­mei­det, alle Tore bis auf Tor Num­mer 777777. Sie wür­den doch sofort zu die­sem Tor wech­seln, oder nicht? (Wikipedia/Ziegenproblem)

Die­se Erklä­rung ist in der Tat die bes­te und ein­fachs­te von allen. Doch obwohl sie so ein­leuch­tend ist, wird sie von Skep­ti­kern ange­zwei­felt oder sogar abge­lehnt. Sie sagen, die Eine-Mil­li­on-Türen-Metho­de könn­te nicht auf die Drei-Türen-Kon­stel­la­ti­on über­tra­gen wer­den. Außer­dem hät­te der Mode­ra­tor die Mög­lich­keit die Ent­schei­dung des Kan­di­da­ten sug­ges­tiv zu beein­flus­sen. Doch fol­gen­de Metho­de soll­te end­gül­tig klar­stel­len, dass es bes­ser ist zu wech­seln.

Das Gruppenmodell

Nach­dem der Kan­di­dat Tor 1 gewählt hat, tei­len wir die Tore in 2 Grup­pen auf. Grup­pe A besteht aus dem gewähl­ten Tor, Grup­pe B wird aus den bei­den ande­ren gebil­det.

Für jedes ein­zel­ne Tor ist die Gewinn­wahr­schein­lich­keit 1/3. Kom­bi­niert man die Wer­te mit­ein­an­der und bil­det Grup­pen, ent­steht jedoch eine unglei­che Ver­tei­lung:


Wür­de der Kan­di­dat jetzt zu Grup­pe B wech­seln, hät­te er anschlie­ßend noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len. Öff­net der Show­mas­ter jedoch zuvor ein Tor in Grup­pe B, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, doch die Gewinn­wahr­schein­lich­keit bleibt gleich. Denn war­um soll­te die Wahr­schein­lich­keit für Grup­pe B sich ändern, nur weil eins sei­ner Tore geöff­net wird?

Zwei Tore im Tausch gegen eins

Öff­net der Mode­ra­tor eine Tür, besteht Grup­pe B nur noch aus einer ver­schlos­se­nen Tür, obwohl sie zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man auch sagen: Der Mode­ra­tor bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen an, von denen eine bereits geöff­net ist. Das wäre übri­gens das­sel­be, als wür­de der Show­mas­ter dem Kan­di­da­ten Tor 2 und 3 zum Tausch gegen Tor 1 anbie­tet und der Kan­di­dat darf dann bei­de öff­nen. Denn ob der Show­mas­ter das eine Tor öff­net und der Kan­di­dat das ande­re oder der Kan­di­dat bei­de, ist völ­lig egal.

Kein mathematisches Rätsel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel, son­dern eher als eine Art asso­zia­ti­ve Täu­schung, im Sinn einer opti­schen Täu­schung.

Wenn der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der Türen auf zwei redu­ziert, den­ken wir viel­leicht, die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ver­blei­ben­den zwei Türen wür­den sich neu ver­tei­len. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 1/3, jetzt haben wir zwei zu je 1/2 —  den­ken wir. Doch das wäre nur dann der Fall, wenn der Kan­di­dat NICHT zuvor eine Tür gewählt hät­te. Ver­stan­den?

Erst sterben, dann vererben

Wür­de der Mode­ra­tor Tür 2 öff­nen, bevor der Kan­di­da­ten Tür 1 wählt, und somit von der Drei­er­grup­pe abtrennt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tür 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch. Von drei Türen, von denen jede 1/3 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt (zusam­men also 100 %), wird eine Ver­lie­rer-Tür geöff­net und als Wahl­mög­lich­keit aus­ge­schlos­sen. Der Gewinn muss also hin­ter einer der bei­den ande­ren Türen sein. Die­se besit­zen zusam­men 100 % Gewinn­wahr­schein­lich­keit. Jede Tür bekommt 50 Pro­zent.

Doch wenn der Kan­di­dat vor­her Tür 1 wählt, ist die Situa­ti­on eine ande­re: In Grup­pe A, hin­ter Tür 1, könn­te sich bereits der Gewinn ver­ber­gen. Die Wahr­schein­lich­keit, dass er sich in Grup­pe B befin­det, ist jedoch dop­pelt so hoch: Da er nicht hin­ter Tür 2 ist, befin­det er sich zu 66,66 % hin­ter der ande­ren Tür in Grup­pe B, denn das ist der Wert, den Grup­pe B besitzt. Tür 2 erbt also den Wahr­schein­lich­keits­wert der ver­stor­be­nen Tür 3.

Wenn wir wech­seln, bekom­men wir also 2/3 Wahr­schein­lich­keit im Tausch gegen 1/3.


Der manipulative Showmaster

Oben ste­hen­de Über­le­gun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und dem Kan­di­da­ten oder der Kan­di­da­tin kei­ne sug­ges­ti­ven, ver­bor­ge­nen oder heim­li­chen Zei­chen gibt.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch — absicht­lich oder unbe­wusst. Selbst dann bleibt die Regel bestehen, dass der Wech­sel zum ande­ren Tor vor­teil­haft ist, denn er ver­dop­pelt die Gewinn­wahr­schein­lich­keit auch in die­sem Fall. Fol­gen­de Beob­ach­tun­gen erklä­ren die­se Behaup­tung:

Wenn der Show­mas­ter ver­sucht, den Kan­di­da­ten zu mani­pu­lie­ren (egal in wel­che Rich­tung), bedeu­tet das nicht, dass es ihm auch immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kan­di­da­ten kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen oder Tipps geben. Sie müs­sen sehr sub­til sein, denn weder das Publi­kum noch der Redak­teur der Sen­dung darf das mit­krie­gen.

Ob der Kan­di­dat die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe) des Show­mas­ter bemerkt und sie auch annimmt, ist daher nicht vor­her­sag­bar. Manch­mal wird er es bemer­ken und manch­mal nicht. Wie er damit umgeht und inwie­weit er die­ser Hil­fe traut, ist auch noch eine ande­re Fra­ge. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps. Zwölf ver­schie­de­ne Sze­na­ri­en las­sen sich aus die­sen Mög­lich­kei­ten bil­den:

1. Fall: Der Showmaster mag den Kandidaten und möchte das er gewinnt.

Der Kan­di­dat hat das rich­ti­ge Tor gewählt und der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Zei­chen, nicht zum ande­ren Tor wech­seln.

1. Der Kan­di­dat inter­pre­tiert die Zei­chen rich­tig und er wech­selt nicht.
2. Der Kan­di­dat inter­pre­tiert die Zei­chen falsch und wech­selt.
3. Der Kan­di­dat bemerkt die Zei­chen nicht und ent­schei­det nach ande­ren Kri­te­ri­en.

Der Kan­di­dat hat das fal­sche Tor gewählt und der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Zei­chen, zum ande­ren Tor zu wech­seln.

1. Der Kan­di­dat inter­pre­tiert die Zei­chen rich­tig und wech­selt.
2. Der Kan­di­dat inter­pre­tiert die Zei­chen falsch und wech­selt nicht.
3. Der Kan­di­dat bemerkt die Zei­chen nicht und ent­schei­det nach ande­ren Kri­te­ri­en.

2. Fall: Der Showmaster mag den Kandidaten nicht und möchte deshalb, dass dieser verliert.

Der Kan­di­dat hat das rich­ti­ge Tor gewählt doch der Show­mas­ter ani­miert ihn zu wech­seln.

1. Der Kan­di­dat fällt auf den Show­mas­ter rein und wech­selt.
2. Der Kan­di­dat merkt, dass der Show­mas­ter ihm einen Tipp gibt, ver­steht ihn aber falsch und wech­selt nicht.
3. Der Kan­di­dat bemerkt den Mani­pu­la­ti­ons­ver­such nicht und ent­schei­det nach ande­ren Kri­te­ri­en.

Der Kan­di­dat hat das fal­sche Tor gewählt, doch der Show­mas­ter tut so, als wäre es das rich­ti­ge.

1. Der Kan­di­dat fällt auf den Show­mas­ter rein und wech­selt nicht.
2. Der Kan­di­dat merkt, dass der Show­mas­ter ihm einen Tipp gibt, ver­steht ihn aber falsch und wech­selt.
3. Der Kan­di­dat bemerkt den Mani­pu­la­ti­ons­ver­such nicht und ent­schei­det nach ande­ren Kri­te­ri­en.

Mani­pu­liert der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten, wird es ihm also manch­mal gelin­gen und manch­mal nicht. Manch­mal wer­den die­se Mani­pu­la­ti­ons­ver­su­che vom Kan­di­da­ten bemerkt, aber falsch ein­ge­ord­net, und er tut das Gegen­teil von dem, wozu der Show­mas­ter ihn ani­mie­ren woll­te.

Sta­tis­tisch gese­hen, wer­den die­se unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und haben auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen Ein­fluss. Ob mit oder ohne mani­pu­la­ti­vem Show­mas­ter (den es höchst­wahr­schein­lich nie gege­ben hat), ver­dop­pelt sich die Gewinn­wahr­schein­lich­keit immer von 1/3 auf 2/3.


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