Das Zie­gen­pro­blem


Kein Pro­blem und kei­ne Mathematik

Der Show­mas­ter sagt zur Kan­di­da­tin: Wenn Sie nicht Tür 1 neh­men, gebe ich ihnen Tür 2 und 3 dafür. Sie dür­fen dann bei­de öffnen.

Vie­le ken­nen es schon, das soge­nann­te Zie­gen­pro­blem: In der Fern­seh­show Let‘s make a deal (Geh‘ aufs Gan­ze) muss ein Kan­di­dat eine von 3 Türen wäh­len, hin­ter der er sich einen Gewinn erhofft. Danach öff­net der Show­mas­ter eine der bei­den ande­ren Türen, hin­ter der sich eine Nie­te befin­det, und fragt den Kan­di­da­ten, ob er bei sei­ner Wahl bleibt oder nicht lie­ber die drit­te, noch ver­schlos­se­ne Tür nimmt. Der kann sich jetzt fragen:

  • Soll ich bei mei­ner Wahl bleiben?
  • Ist es bes­ser zu wechseln?
  • Oder ist es egal, weil die Chan­cen 50:50 stehen?

Der Ein­spruch der Skeptiker

Die meis­ten Men­schen sind der Mei­nung, es ist bes­ser zu wech­seln. Doch Skep­ti­ker sagen:

Es ist egal, also fif­ty-fif­ty, oder sogar von Nach­teil, denn man kön­ne nie wis­sen, wel­che Stra­te­gie der Spiel­lei­ter hat, ob er par­tei­isch oder unpar­tei­isch ist. Theo­re­tisch könn­te er mani­pu­la­tiv sein, und die­sen Fak­tor dür­fe man nicht igno­rie­ren.

Doch wel­chen Spiel­raum könn­te der Show­mas­ter haben, der es ihm erlaubt, eine „Stra­te­gie“ anzu­wen­den? Schließ­lich öff­net er bekannt­lich immer eine Tür mit einer Zie­ge. Es ist also nicht so, dass er dem einen Kan­di­da­ten den Tausch anbie­tet und einem ande­ren nicht. In die­sem Fall wäre die durch­schnitt­li­che Gewinn­wahr­schein­lich­keit viel­leicht tat­säch­lich 50:50.

Alles, was er tun könn­te, wäre, die Kan­di­da­ten unter­schied­lich stark zum Wech­sel zu drän­gen. Eine Kan­di­da­tin, die das rich­ti­ge Tor bereits gewählt hat und ihm sehr sym­pa­thisch ist, wird er wahr­schein­lich nicht wie­der­holt fra­gen: „Wol­len sie nicht doch zum ande­ren Tor wech­seln?“ Bei einem ihm unsym­pa­thi­schen Kan­di­da­ten macht er das viel­leicht doch.

Und selbst wenn er unpar­tei­isch ist (oder zumin­dest glaubt, es zu sein), könn­te er unbe­wusst Signa­le aus­sen­den, die den Kandidaten/die Kan­di­da­tin beein­flus­sen.

Doch wür­de der Spiel­lei­ter die Kan­di­da­ten tat­säch­lich in ihren Ent­schei­dun­gen beein­flus­sen, hät­te das schon längst jemand bemerkt. War­um, erklä­re ich am Ende die­ser Seite.

Drei Ver­an­schau­li­chun­gen des Ziegenproblems

  • Grup­pen­auf­tei­lung
  • Die Scha­len-Vari­an­te (Los-Metho­de)
  • Tabel­la­ri­sche Betrachtung

Die­se drei Dar­stel­lungs­for­men zei­gen auf unter­schied­li­chen Wegen die Auf­ga­ben­stel­lung des Zie­gen­pro­blems. Sie hel­fen uns zu sehen, was pas­siert, wenn der Show­mas­ter eine Tür öff­net oder der Kan­di­dat wech­selt oder bei sei­ner Wahl bleibt.

Die Grup­pen­auf­tei­lung

Der Kan­di­dat wählt Tor 1. Anschlie­ßend tei­len wir die Tore in Grup­pen auf. Aus dem gewähl­ten Tor bil­den wir Grup­pe A, aus den nicht gewähl­ten die Grup­pe B.

Die wesent­li­che Beob­ach­tung ist: Wür­de der Kan­di­dat in die­ser Situa­ti­on zur Grup­pe B wech­seln, hät­te er noch zwi­schen Tor 2 und 3 zu wäh­len. Öff­net der Show­mas­ter jedoch ein Tor in die­ser Grup­pe und nimmt es aus der Kon­kur­renz, fällt die­ser zwei­te Schritt weg, die Gewinn­wahr­schein­lich­keit für Grup­pe B ändert sich jedoch nicht! Denn die­se wur­de zu Beginn des Spiels fest­ge­legt und kann sich des­halb unmög­lich ändern (so als wür­den die Kar­ten neu gemischt werden).

Der Kan­di­dat wech­selt nicht die Tür, son­dern die Gruppe

Wie jeder weiß, ist die Wahr­schein­lich­keit, dass eines der bei­den Tore in Grup­pe B das Gewin­ner­tor ist, 23 (also 13 + 13). Das Öff­nen eines Tores ändert nichts dar­an. Der ein­zi­ge Unter­schied zu vor­her:

Vor dem Öff­nen hat­ten bei­de Tore je eine Wahr­schein­lich­keit von 13. Danach besit­zen sie jedoch unter­schied­li­che Wer­te. Das geöff­ne­te hat jetzt den Wert null (0/3), das geschlos­se­ne den Wert 23. Tor 3 hat den Wahr­schein­lich­keits­wert von Tor 2 geerbt und ist ab jetzt der allei­ni­ge »Wahr­schein­lich­keits­trä­ger« in Grup­pe B:

Zwei Türen im Tausch gegen eine

Öff­net der Mode­ra­tor Tür 2, besteht Grup­pe B nur noch aus einer wähl­ba­ren Tür, obwohl ihr Wahr­schein­lich­keits­wert zwei reprä­sen­tiert. Wenn man will, kann man den Vor­gang auch so beschreiben:

Der Mode­ra­tor bie­tet dem Kan­di­da­ten zwei Türen zum Tausch an, von denen er eine bereits geöff­net geöff­net hat. (Die geöff­ne­te Tür gibt es sozu­sa­gen gra­tis dazu. Sie ist zwar für nichts gut, scha­den tut sie aber auch nicht.)

Noch deut­li­cher zeigt es die­ses Szenario:

Anstatt dass der Spiel­lei­ter Tür 2 öff­net und die Kan­di­da­tin die Mög­lich­keit bekommt, zu Tür 3 zu wech­seln, bie­tet er ihr an, ihre gewähl­te Tür direkt gegen die bei­den ande­ren ein­zu­tau­schen, die sie dann bei­de öff­nen darf.

Denn ob der Show­mas­ter die eine Tür öff­net und die Kan­di­da­tin die ande­re oder der Show­mas­ter kei­ne und die Kan­di­da­tin bei­de, ist völ­lig egal.

Die Scha­len-Vari­an­te (Los-Metho­de)

Stell dir vor, du nimmst an fol­gen­dem Spiel teil:

Vor dir ste­hen 2 Scha­len, die eine ist rot und die ande­re blau. In der roten befin­det sich ein Los und in der blau­en lie­gen zwei. Eins der drei Lose ist der Gewinn eines Autos, die bei­den ande­ren sind Nie­ten. Die Lose haben Num­mern und der Spiel­lei­ter weiß, wel­ches Los gewinnt. Dann sagt der Spiel­lei­ter zu dir:

Sie dür­fen eine der bei­den Scha­len wäh­len.

Wenn Sie die rote wäh­len, gehört das Los dar­in Ihnen. Sie haben dann ent­we­der gewon­nen oder ver­lo­ren. Das Spiel ist damit been­det.

Wenn Sie die blaue Scha­le neh­men, wer­de ich ein Los mit einer Nie­te aus die­ser Scha­le ent­fer­nen. Das ande­re Los gehört ihnen.

Ich den­ke, jedem ist klar, dass der Gewinn eher in der blau­en Scha­le zu fin­den ist, als in der roten.

Wenn du die blaue Scha­le wählst, bekommst du 2 Lose und hast 2 Chan­cen auf den Gewinn. Das Dilem­ma: Die darfst nur ein Los aus der Scha­le her­aus­neh­men. Und dass bedeu­tet: Soll­te sich der Gewinn tat­säch­lich in der blau­en Scha­le befin­den (was in 2 von 3 Fäl­len der Fall ist), besteht immer noch zu 50 % die Gefahr, dass du die Nie­te erwischst. Doch wenn der Show­mas­ter die­se Nie­te zuvor ent­fernt, besteht die­se Gefahr nicht mehr. Alles klar?

In die­sem Spie­le­sze­na­rio geschieht das glei­che wie im Sze­na­rio mit den Türen und den Zie­gen. Es soll­te ein­fach zu erken­nen sein. Im Prin­zip ist es das­sel­be Spiel, nur auf eine ande­re Art gespielt.

Die Scha­len-Vari­an­te ver­deut­licht jedoch, dass Tür 2 + 3 mit­ein­an­der ver­bun­den sind. Genau wie das Ent­fer­nen eines Loses aus der blau­en Scha­le kei­nen Ein­fluss auf das ande­re Los in die­ser Scha­le hat, hat das Öff­nen einer Tür in Grup­pe B kei­nen Ein­fluss auf die zwei­te Tür in die­ser Gruppe.

  • Wählt die Kan­di­da­tin die blaue Scha­le, bekommt sie zwei Lose, von denen einen Nie­te aus­sor­tiert wird.
  • Wech­selt die Kan­di­da­tin zur ande­ren Tür in Grup­pe B, bekommt sie zwei Türen, von denen eine Nie­te aus­sor­tiert wird.

Die tabel­la­ri­sche Betrachtung

Die Tabel­la­ri­sche Auf­stel­lung macht es eben­falls deut­lich. Wir wis­sen, im Durch­schnitt wird jede Kandidatin/jeder Kan­di­dat bei jedem 3. Spiel das rich­ti­ge Tor aus­wäh­len. Davon lässt sein ableiten:

Aus sta­tis­ti­scher Sicht ist es also immer vor­teil­haft, zu wech­seln: Zwei­mal pro drei Spie­le wählt der Kan­di­dat eine Zie­ge, doch er wech­selt und bekommt das Auto. Doch nur ein­mal pro drei Spie­le bekommt er das Auto, wenn er nicht wechselt.

Kein mathe­ma­ti­sches Rätsel

Ich betrach­te das Zie­gen­pro­blem des­halb nicht als mathe­ma­ti­sches Rät­sel (als das es manch­mal bezeich­net wird), son­dern eher als eine Art der asso­zia­ti­ven Täu­schung – im Sinn einer opti­schen Täu­schung. Im Grun­de genom­men ist es ein­fach, doch das Öff­nen der Tür ver­wirrt uns – ohne dass wir es mer­ken. Es ist wie bei einem Magi­er, der mit über­flüs­si­gen Bewe­gun­gen und aller­lei Schnick­schnack unse­re Auf­merk­sam­keit ablenkt.

Wenn wir „ver­wirrt“ sind, ist fol­gen­de Beob­ach­tung von zen­tra­ler Bedeu­tung: Öff­net der Show­mas­ter eine Tür, glau­ben wir, wei­ter­füh­ren­de Infor­ma­tio­nen erhal­ten zu haben. Wir den­ken, jetzt etwas zu wis­sen, das wir zuvor nicht wuss­ten. Doch das ist falsch!

Wir wis­sen jetzt zwar, hin­ter Tür 2 ver­birgt sich mit Sicher­heit eine Zie­ge, doch indi­rekt wuss­ten wir das vor­her auch schon. Wir wuss­ten, dass ent­we­der Tür 2 oder 3 eine Zie­gen­tür ist. Wir wuss­ten nur nicht, wel­che. Öff­net der Spiel­lei­ter nicht Tür 3, öff­net er Tür 2, öff­net er nicht Tür 2, öff­net er Tür 3. Eine von bei­den muss­te es sein und aus die­sem Grund ist es völ­lig unwich­tig, wel­che es ist.

Die sia­me­si­schen Türen

Wenn wir also wis­sen, dass Tür 2 eine Zie­ge ist, ist es das­sel­be, als wüss­ten wir, dass Tür 3 eine Zie­ge ist. Des­we­gen hilft uns das Wis­sen, wel­che der bei­den Türen eine Zie­ge ver­birgt, nicht wei­ter, denn in die­ser Pha­se des Spiels sind Tür 2 und 3 mit­ein­an­der iden­tisch. Sie fun­gie­ren zunächst als Platz­hal­ter für die auf­zu­de­cken­de Zie­ge in Grup­pe B.

Doch weil der Mode­ra­tor eine Tür öff­net und somit die Anzahl der wähl­ba­ren Türen auf zwei redu­ziert, las­sen wir uns irri­tie­ren. Wir glau­ben, es jetzt nur noch mit zwei Türen zu tun zu haben und dass die Wahr­schein­lich­kei­ten für die­se sich neu ver­tei­len. Vor­her hat­ten wir drei Türen zu je 13, jetzt haben wir zwei zu je 12 – den­ken wir. Das wäre so, wenn der Kan­di­dat NICHT zuvor eine Tür gewählt hätte.

Zwei mög­li­che Szenarien

  1. Sze­na­rio:
    Wür­de der Mode­ra­tor Tor 2 öff­nen, bevor der Kan­di­dat ein Tor wählt, wären die Wahr­schein­lich­kei­ten für Tor 1 und 3 tat­säch­lich gleich hoch:
    Von drei Toren, von denen jedes 13 Gewinn­wahr­schein­lich­keit besitzt (zusam­men also 100 %), wird ein Ver­lie­rer-Tor ent­fernt und aus der Kon­kur­renz genom­men. Es gibt jetzt nur noch zwei Tore. Die­se besit­zen jetzt zusam­men 100 Pro­zent. Jedes Tor bekommt die Hälfte.
  1. Sze­na­rio:
    Im 1. Sze­na­rio redu­ziert der Mode­ra­tor die Tore ein­fach von drei auf zwei. Das eigent­li­che Spiel beginnt erst danach.
    Doch wenn der Kan­di­dat Tor 1 wählt, bevor der Show­mas­ter ein Tor öff­net, ist die Situa­ti­on eine ande­re. Es sind immer noch drei Tore im Spiel: 2 geschlos­se­ne und 1 geöff­ne­tes. Dass eins der Tore bereits geöff­net wur­de, hat kei­nen Ein­fluss auf die Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung, denn die­se wur­de zu Beginn des Spiels fest­ge­legt. Sie kann sich durch das Öff­nen eines Tores (oder sogar aller) unmög­lich ändern.

    Bevor der Show­mas­ter Tor 2 öff­net, haben Tor 2 und 3 zusam­men 23 Wahr­schein­lich­keit. Danach haben sie zusam­men immer noch 23 Wahrscheinlichkeit.

Mei­ne Ver­mu­tung: Wenn wir glau­ben, die Gewinn­wahr­schein­lich­keit wäre für die rest­li­chen 2 Tore 50:50, ver­wech­seln wir das zwei­te Sze­na­rio mit dem ersten.


Der mani­pu­la­ti­ve Showmaster

Oben ste­hen­de Beob­ach­tun­gen und Über­le­gun­gen gehen davon aus, dass der Show­mas­ter natür­lich immer eine Tür öff­net (andern­falls hät­te die Auf­ga­ben­stel­lung kei­nen Sinn und soweit ich weiß, wur­de das Spiel auch nie anders gespielt) und die Kan­di­da­tin selbst­ver­ständ­lich nicht mani­pu­liert, also voll­kom­men neu­tral ist und nie­man­den sug­ges­tiv beein­flusst.

Doch neh­men wir ein­mal an, er tut es doch – absicht­lich oder unbe­wusst. Es ist inter­es­sant, dass auch dann der Wech­sel zum ande­ren Tor aus sta­tis­ti­scher Sicht die Gewinn­chan­ce verdoppelt.

Der kon­fu­se Kandidat

Wenn der Show­mas­ter den Kan­di­da­ten mani­pu­liert, bedeu­tet das nicht unbe­dingt, dass es ihm auch immer gelingt. Schließ­lich darf er dem Kandidaten/der Kan­di­da­tin kei­ne offen­sicht­li­chen Zei­chen geben. Das wür­de schnell jemand mit­krie­gen und des­halb müss­te er sehr sub­til vor­ge­hen. Trotz­dem müs­sen die Signa­le gut ver­ständ­lich sein – andern­falls ver­lie­ren sie ihre Wir­kung.

Mani­pu­liert der Spiel­lei­ter den Kan­di­da­ten, wird die­ser die Hil­fe (oder schein­ba­re Hil­fe, die ins Ver­der­ben führt) des­halb nicht immer bemer­ken. Oder er wird die sub­ti­len Hin­wei­se falsch inter­pre­tie­ren und das Gegen­teil tun. Und manch­mal wird er nur den­ken, der Show­mas­ter gibt ihm heim­li­che Tipps und sich dann anders ent­schei­den, denn in einer Welt, in der der Show­mas­ter kor­rupt ist, wird auch das vor­kom­men. Das alles kann zum Vor­teil oder Nach­teil der Kan­di­da­tin­nen und Kan­di­da­ten sein.

Nie­mand der Zuschau­er dürf­te auch nur den gerings­ten Ver­dacht haben, dort könn­te etwas nicht mit rech­ten Din­gen zuge­hen. Auf lan­ge Sicht geht so etwas jedoch nie gut. Mit Sicher­heit hät­ten bereits in den 1960er und 1970er-Jah­ren auf­merk­sa­me Zuschau­er das bemerkt und es wäre öffent­lich bekannt gewor­den.

Alles zusam­men betrach­tet, wer­den die unter­schied­li­chen Sze­na­ri­en sich gegen­ein­an­der auf­he­ben und auf die Gewinn­wahr­schein­lich­keit kei­nen signi­fi­kan­ten Ein­fluss haben.

Der fau­le Showmaster

Eine wei­te­re Theo­rie ist der „fau­le Show­mas­ter“, der (viel­leicht unbe­wusst) bevor­zugt das Tor öff­net, das ihm am nächs­ten ist. Davon lässt sich ablei­ten: Öff­net er das etwas wei­ter ent­fern­te Tor, steckt das Auto hin­ter dem nähe­ren. Denn ist das Auto hin­ter keins von bei­den, hät­te er kei­nen Grund den wei­te­ren Weg zu gehen und wür­de das näher­lie­gen­de Tor öffnen.

Doch auch das hät­ten auf­merk­sa­me Zuschau­er bemerkt, denn am Ende eines jeden Spiels sind alle Tore geöff­net. Frü­her oder spä­ter wäre des­halb jeman­dem Fol­gen­des auf­ge­fal­len: Wählt der Kan­di­dat Tor 1, und das Auto steckt auch dahin­ter, öff­net der Show­mas­ter, wenn er auf der rech­ten Sei­te steht, bevor­zugt Tor 3. Oder: Wählt der Kan­di­dat Tor 3, und das Auto steckt auch dort, öff­net der Show­mas­ter bevor­zugt Tor 2 usw.


Einen inter­es­san­ten Arti­kel mit anschlie­ßen­der Dis­kus­si­on zur Kon­tro­vers um das Zie­gen­pro­blem fin­det man HIER


1 Gedanke zu „Das Zie­gen­pro­blem“

  1. Ein­fa­cher so erklärt:
    Wenn ich ein­Thor („Wer Thor ohne h schreibt, ist ein Tor, Scho­pen­hau­er) gewählt habe, so sit­ze ich mit 23 auf einer Zie­ge. Wenn der Show­mas­ter mir nun eine Zie­ge eli­mi­niert, ist das Thor, das noch übrig bleibt, sta­tis­tisch bes­ser, weil es nur zu einem Drit­tel auf einer Zie­ge sitzt. Also wechseln.

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